Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных...

Для начала, давайте рассмотрим биссектрису соседних углов параллелограмма. Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB || CD и AD || BC. Рассмотрим биссектрису угла ABD и угла ABC. Пусть они пересекаются в точке O.

Так как углы ABD и ABC смежные, то у них есть общая сторона AB. Биссектриса угла ABD делит угол ABD пополам, а биссектриса угла ABC делит угол ABC пополам. Так как углы ABD и ABC равны (по свойству параллелограмма), то биссектрисы этих углов также равны. Поэтому треугольник AOB равнобедренный.

Аналогично рассматривая биссектрисы углов BCD и BDA, мы также можем доказать, что они перпендикулярны.

Теперь рассмотрим биссектрисы противоположных углов параллелограмма. Пусть биссектрисы углов ABD и CDA пересекаются в точке O. Так как углы ABD и CDA дополнительны, то их биссектрисы также пересекаются. Таким образом, биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на одной прямой.

Итак, мы доказали, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, так как они делят углы на равные части. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны, так как они делят противоположные углы на равные части и образуют равные углы с диагоналями.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм (ABCD) с углами (\angle A), (\angle B), (\angle C), (\angle D). Известно, что в параллелограмме противоположные углы равны, то есть (\angle A = \angle C) и (\angle B = \angle D), а сумма всех углов равна (360^\circ).

Биссектрисы соседних углов

Рассмотрим биссектрисы углов (\angle A) и (\angle B). Пусть они пересекаются в точках (E) и (F) соответственно. Биссектриса угла делит его пополам, поэтому: [ \angle EAB = \frac{1}{2}\angle A \quad \text{и} \quad \angle FBA = \frac{1}{2}\angle B. ]

Поскольку (\angle A + \angle B = 180^\circ), то: [ \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 90^\circ. ]

Следовательно, (\angle EAB + \angle FBA = 90^\circ), что означает, что биссектрисы углов (\angle A) и (\angle B) перпендикулярны.

Биссектрисы противоположных углов

Теперь рассмотрим биссектрисы углов (\angle A) и (\angle C). Мы знаем, что (\angle A = \angle C), поэтому их биссектрисы образуют равные углы с соответствующими сторонами параллелограмма: [ \angle EAB = \frac{1}{2}\angle A \quad \text{и} \quad \angle FCD = \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}\angle A. ]

Поскольку биссектрисы образуют одинаковые углы с параллельными сторонами (AB) и (CD), они параллельны друг другу или совпадают, если рассматриваются как продолженные линии.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.