Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны 2корень из 10 см, 2корень17 см и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда.
Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны 2корень из 10 см, 2корень17 см и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда.
Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и теорему Пифагора.
Обозначим стороны параллелепипеда как (a), (b) и (c). Тогда длины диагоналей граней, которые имеют общую вершину, будут выражаться как:
Теперь запишем уравнения на основе этих выражений:
Наша цель — найти диагональ всего параллелепипеда, которая равна (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}).
Сложим все три уравнения:
[ (a^2 + b^2) + (b^2 + c^2) + (a^2 + c^2) = 40 + 68 + 100. ]
Это уравнение можно упростить до:
[ 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 208. ]
Разделим обе части на 2:
[ a^2 + b^2 + c^2 = 104. ]
Теперь можем найти длину диагонали параллелепипеда:
[ \text{Диагональ} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}. ]
Таким образом, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна (2\sqrt{26}) см.
Для нахождения диагонали параллелепипеда, необходимо воспользоваться формулой для расчета диагонали прямоугольного параллелепипеда: d = √(a^2 + b^2 + c^2),
где d - диагональ параллелепипеда, а, b, c - длины его трех сторон.
Из условия задачи мы уже знаем длины диагоналей трех граней, проходящих через общую вершину. Обозначим эти длины как d1, d2, d3. Тогда:
d1 = 2√10 см, d2 = 2√17 см, d3 = 10 см.
Таким образом, у нас есть три уравнения:
d = √(a^2 + b^2 + c^2), d1 = √(a^2 + b^2), d2 = √(a^2 + c^2), d3 = √(b^2 + c^2).
Решая данную систему уравнений, найдем значения длин сторон параллелепипеда:
a = √2 см, b = √8 см, c = 3 см.
Теперь подставим найденные значения в формулу для расчета диагонали параллелепипеда:
d = √(2^2 + 8^2 + 3^2) = √(4 + 64 + 9) = √77 см.
Итак, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна √77 см.
