Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2а,точка р- середина отрезка ВС.Найдите: а)расстояние между прямыми...

Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Нахождение расстояния между прямыми B1D и AP

Сначала найдем точку P и векторы AP и B1D.

Так как точка P - середина BC, то ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C. Допустим, куб расположен в системе координат так, что его вершины имеют следующие координаты:

• A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,2a,0), D(0,2a,0)
• A1(0,0,2a), B1(2a,0,2a), C1(2a,2a,2a), D1(0,2a,2a).

Тогда координаты точек:

• P((2a+2a)/2, 2a/2, 0) = (2a, a, 0).

Вектор AP:

• A(0,0,0) → P(2a, a, 0)
• AP = P - A = (2a - 0, a - 0, 0 - 0) = (2a, a, 0).

Вектор B1D:

• B1(2a,0,2a) → D(0,2a,0)
• B1D = D - B1 = (0 - 2a, 2a - 0, 0 - 2a) = (-2a, 2a, -2a).

Теперь найдем расстояние между прямыми AP и B1D. Так как они не пересекаются (можно проверить, что они скрещиваются), можно использовать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми:

• ( \text{Расстояние} = \frac{|(\text{AP} \times \text{B1D}) \cdot (\text{B1} - \text{A})|}{|\text{AP} \times \text{B1D}|} ).

Векторное произведение AP и B1D:

• AP × B1D = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2a & a & 0 \ -2a & 2a & -2a \end{vmatrix}
• = \mathbf{i}(a(-2a) - 0(2a)) - \mathbf{j}(2a(-2a) - 0(-2a)) + \mathbf{k}(2a(2a) - a(-2a))
• = -2a^2 \mathbf{i} + 4a^2 \mathbf{j} + 6a^2 \mathbf{k} = a^2(-2 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 6 \mathbf{k}).

Расчет вектора B1 - A:

• B1 - A = (2a, 0, 2a) - (0, 0, 0) = (2a, 0, 2a).

Скалярное произведение (AP × B1D) и (B1 - A):

• = a^2(-2 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 6 \mathbf{k}) \cdot (2a, 0, 2a)
• = a^2(-4a + 0 + 12a)
• = 8a^3.

Модуль векторного произведения AP × B1D:

• = |a^2(-2 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 6 \mathbf{k})|
• = a^2 \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 6^2}
• = a^2 \sqrt{4 + 16 + 36}
• = a^2 \sqrt{56}
• = a^2 \cdot 2\sqrt{14}.

Расстояние между прямыми:

• = \frac{|8a^3|}{2a^2\sqrt{14}}
• = \frac{4a\sqrt{14}}{\sqrt{14}}
• = 4a.

Шаг 2: Нахождение угла между прямыми B1D и AP

Угол между двумя прямыми находится через косинус угла между их направляющими векторами:

• ( \cos \theta = \frac{|AP \cdot B1D|}{|AP| |B1D|} ).

Скалярное произведение AP и B1D:

• AP \cdot B1D = (2a, a, 0) \cdot (-2a, 2a, -2a)
• = -4a^2 + 2a^2 + 0
• = -2a^2.

Модули векторов AP и B1D:

• |AP| = \sqrt{(2a)^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5},
• |B1D| = \sqrt{(-2a)^2 + (2a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3}.

Косинус угла:

• ( \cos \theta = \frac{-2a^2}{a\sqrt{5} \cdot 2a\sqrt{3}} )
• = \frac{-2a^2}{2a^2\sqrt{15}}
• = \frac{-1}{\sqrt{15}}.

Угол между прямыми:

• ( \theta = \cos^{-1} \left(\frac{-1}{\sqrt{15}}\right) ).

Это дает ответы на оба вопроса: а) Расстояние между прямыми B1D и AP равно (4a). б) Угол между прямыми B1D и AP равен ( \cos^{-1} \left(\frac{-1}{\sqrt{15}}\right) ).

a) Расстояние между прямыми B1D и AP равно a b) Угол между прямыми B1D и AP равен 90 градусов.

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства геометрических фигур, а именно куба и прямоугольного треугольника.

а) Рассмотрим треугольник B1PD. Так как P - середина отрезка BC, то BP = PC = 2а/2 = а. Также, так как B1D - это диагональ грани куба, то B1D = √(2) * 2а = 2а√(2).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник APD. Мы знаем, что AD = 2а (длина ребра куба), PD = а (так как P - середина отрезка BC), и ADP = 90 градусов (так как AD и PD перпендикулярны). Мы можем найти AP, используя теорему Пифагора: AP = √(AD^2 + PD^2) = √(2а)^2 + а^2) = √(4а^2 + а^2) = √(5а^2) = а√(5).

Итак, расстояние между прямыми B1D и AP равно |B1D - AP| = |2а√(2) - а√(5)| = а(2√(2) - √(5)).

б) Чтобы найти угол между прямыми B1D и AP, мы можем использовать теорему о косинусах. Угол между этими прямыми будет равен углу между векторами B1D и AP. Для этого нам нужно найти скалярное произведение векторов и разделить его на произведение их длин: cos(θ) = (B1D AP) / (|B1D| |AP|).

B1D = 2а√(2), AP = а√(5). Таким образом, B1D AP = 2а√(2) а√(5) = 10а^2, |B1D| = 2а√(2), |AP| = а√(5).

cos(θ) = (10а^2) / (2а√(2) а√(5)) = 5 / 2√(10) = 5 / 2 √(10).

Итак, угол между прямыми B1D и AP равен arccos(5 / 2 * √(10)).