Диаметр шара равен 2m.Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45 градусов к нему.Найдите...

Длина линии пересечения сферы этой плоскостью равна длине диаметра, то есть 2m.

Для решения этой задачи сначала нужно понять, как выглядит сечение сферы плоскостью, проходящей через её радиус под углом 45 градусов к этому радиусу.

1. Размеры исходной сферы: Диаметр шара равен 2 метра, следовательно, радиус ( R ) равен 1 метру.

2. Угол между плоскостью и радиусом: Плоскость пересекает радиус под углом 45 градусов. Представим, что радиус, который пересекается плоскостью, — это одна из осей координат (например, ось ( z )), а сама плоскость наклонена так, что образует угол в 45 градусов с этой осью.

3. Расстояние от центра сферы до плоскости: Плоскость, пересекающая ось ( z ) под углом 45 градусов, имеет расстояние от центра сферы, которое можно найти из тригонометрических соображений. Поскольку плоскость пересекает радиус под углом 45 градусов, расстояние от центра сферы до плоскости (высота ( h ) от центра сферы до плоскости) можно выразить как ( h = R \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ) метра.

4. Радиус сечения сферы плоскостью: Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом сферы, высотой ( h ) и радиусом сечения ( r ), можно найти ( r ). Из ( R^2 = h^2 + r^2 ) следует: [ 1^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + r^2 \implies 1 = \frac{1}{2} + r^2 \implies r^2 = \frac{1}{2} \implies r = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

5. Длина окружности сечения: Длина окружности, которая является линией пересечения сферы и плоскости, определяется формулой ( C = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2} ) метров.

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью, проведенной через конец диаметра под углом 45 градусов, равна ( \pi\sqrt{2} ) метров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус сферы, проходящей через конец диаметра и точку пересечения плоскости с сферой.

Поскольку диаметр равен 2m, то радиус сферы будет равен половине диаметра, то есть r = 1m.

Теперь найдем точку пересечения плоскости с сферой. Возьмем точку A – конец диаметра, и точку B – точку пересечения плоскости с сферой. Тогда AB – это линия пересечения сферы и плоскости.

Так как плоскость проходит через точку A и образует с диаметром угол 45 градусов, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора получаем:

AB^2 = AO^2 + OB^2

AB^2 = r^2 + r^2 = 2r^2 AB = √(2r^2) = √(2*1^2) = √2m

Таким образом, длина линии пересечения сферы этой плоскостью равна √2m.