Диагонали ромба относятся как 3:4, а площадь ромба равна 24 см2. Найдите периметр

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что диагонали ромба делятся друг на друга в отношении 3:4 и являются взаимно перпендикулярными. Также известно, что площадь ромба равна 24 см².

Пусть длина меньшей диагонали равна 3x, а большей - 4x. Тогда найдем площадь ромба через диагонали:

S = (d1 d2) / 2, 24 = (3x 4x) / 2, 24 = 12x² / 2, 24 = 6x², x² = 4, x = 2.

Теперь найдем длины диагоналей:

d1 = 3 2 = 6, d2 = 4 2 = 8.

По теореме Пифагора найдем половину стороны ромба:

a = √(d1² + d2²) / 2, a = √(6² + 8²) / 2, a = √(36 + 64) / 2, a = √100 / 2, a = 10 / 2, a = 5.

Теперь найдем периметр ромба:

P = 4a, P = 4 * 5, P = 20.

Ответ: Периметр ромба равен 20 см.

Для решения задачи, можно использовать известное свойство ромба: площадь ромба можно найти с помощью длин его диагоналей.

Пусть ( d_1 ) и ( d_2 ) - это диагонали ромба. По условию задачи, их отношение равно 3:4, то есть ( d_1 : d_2 = 3 : 4 ). Обозначим длины диагоналей через ( 3x ) и ( 4x ).

Площадь ромба ( S ) можно выразить как половину произведения его диагоналей: [ S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 ]

Подставим данные значения: [ 24 = \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x) ] [ 24 = \frac{1}{2} \cdot 12x^2 ] [ 24 = 6x^2 ]

Разделим обе части уравнения на 6: [ x^2 = 4 ]

Найдём ( x ): [ x = 2 ]

Теперь найдём длины диагоналей: [ d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6 ] [ d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8 ]

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, каждая половинка диагонали будет равна: [ \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 ] [ \frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

Теперь рассмотрим один из четырёх прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. Катеты этого треугольника равны 3 и 4, а гипотенуза будет являться стороной ромба.

По теореме Пифагора найдём длину стороны ромба ( a ): [ a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Теперь найдём периметр ромба, который равен сумме длин всех его сторон (а у ромба все стороны равны): [ P = 4a = 4 \cdot 5 = 20 ]

Таким образом, периметр ромба равен 20 см.