Диагонали ромба AC=a;BD=b.Точка K принадлежит BD и BK:KD=1:3 найдите величину вектора AK

Величина вектора AK равна 2/3 * a.

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться свойством ромба, которое гласит, что диагонали ромба делятся пополам. Таким образом, длина отрезка BK равна b/2, а длина отрезка KD равна b/6.

Теперь нам нужно найти координаты точек A, B, C, D и K, чтобы определить вектор AK. Предположим, что вершина A ромба имеет координаты (0,0), а сторона ромба равна 2a.

Точка B находится на оси y и имеет координаты (a, b/2), точка C находится на оси x и имеет координаты (2a, 0), а точка D находится на оси y и имеет координаты (a, -b/2).

Точка K имеет координаты (a, -b/6).

Теперь найдем координаты вектора AK, который будет равен вектору координаты точки K, так как точка A имеет координаты (0,0).

Итак, вектор AK будет иметь координаты (a, -b/6).

Таким образом, величина вектора AK равна корню из суммы квадратов координат: sqrt(a^2 + (-b/6)^2) = sqrt(a^2 + b^2/36).

Для решения задачи нужно воспользоваться свойствами ромба и векторными методами. Рассмотрим шаги решения:

1. Основные свойства ромба:

   • Все стороны ромба равны.
   • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

2. Диагонали ромба: Пусть ( AC ) и ( BD ) — диагонали ромба, а их длины равны ( a ) и ( b ) соответственно. Точка пересечения диагоналей — центр ромба, обозначим его ( O ). Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

3. Координатная система: Установим координатную систему с центром в точке ( O ):

   • Точка ( A ) имеет координаты ( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) ).
   • Точка ( C ) имеет координаты ( \left( -\frac{a}{2}, 0 \right) ).
   • Точка ( B ) имеет координаты ( \left( 0, \frac{b}{2} \right) ).
   • Точка ( D ) имеет координаты ( \left( 0, -\frac{b}{2} \right) ).

4. Координаты точки ( K ): Точка ( K ) делит отрезок ( BD ) в отношении 1:3. Используем формулу деления отрезка в данном отношении: [ K = \left( 0, \frac{1 \cdot \left( -\frac{b}{2} \right) + 3 \cdot \left( \frac{b}{2} \right)}{1 + 3} \right) = \left( 0, \frac{-\frac{b}{2} + \frac{3b}{2}}{4} \right) = \left( 0, \frac{2b}{8} \right) = \left( 0, \frac{b}{4} \right) ]

5. Вектор ( \mathbf{AK} ):

   • Координаты точки ( A ): ( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) )
   • Координаты точки ( K ): ( \left( 0, \frac{b}{4} \right) )

   Вектор ( \mathbf{AK} ) определяется разностью координат точки ( K ) и точки ( A ): [ \mathbf{AK} = \left( 0 - \frac{a}{2}, \frac{b}{4} - 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{b}{4} \right) ]

Таким образом, величина вектора ( \mathbf{AK} ) равна ( \left( -\frac{a}{2}, \frac{b}{4} \right) ).