Диагонали ромба ABCD равны 9 и 12.Найди длину вектора AB-AC

Длина вектора AB-AC равна 6.

Для нахождения длины вектора AB-AC нам необходимо найти векторы AB и AC, а затем вычесть их друг из друга.

Пусть точка A имеет координаты (0,0), а точка B имеет координаты (x1, y1). Поскольку ромб ABCD, то точка C симметрична точке B относительно диагонали AC. Поэтому координаты точки C будут (-x1, -y1).

Таким образом, вектор AB будет иметь координаты (x1, y1), а вектор AC -(-x1, -y1) или (x1, y1).

Теперь найдем длины диагоналей ромба. По теореме Пифагора для треугольника ABD с гипотенузой 9 и катетами x1 и y1: x1^2 + y1^2 = 9^2

Для треугольника BCD с гипотенузой 12 и катетами x1 и y1: x1^2 + y1^2 = 12^2

Решая систему уравнений, получаем x1 = 3, y1 = 6.

Теперь можем найти вектор AB = (3, 6) и вектор AC = (3, 6). Вычитая их друг из друга, получаем вектор AB-AC = (0, 0).

Длина вектора AB-AC равна нулю.

Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} ), сначала решим задачу, связавшуюся с геометрией ромба.

1. Параметры ромба:

   • Диагонали ромба ( AC ) и ( BD ) пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
   • Длины диагоналей ( AC = 12 ) и ( BD = 9 ).

2. Свойства ромба:

   • Все стороны ромба равны.
   • Диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.

3. Нахождение стороны ромба:

   • Половины диагоналей: [ AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 ] [ BO = \frac{BD}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 ]
   • Используя теорему Пифагора в треугольнике ( AOB ): [ AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{6^2 + 4.5^2} = \sqrt{36 + 20.25} = \sqrt{56.25} = 7.5 ]
   • Значит, длина каждой стороны ромба ( AB = BC = CD = DA = 7.5 ).

4. Нахождение вектора ( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} ):

   • Чтобы найти вектор ( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} ), используем векторное сложение: [ \mathbf{AB} = \mathbf{OB} - \mathbf{OA} ] [ \mathbf{AC} = \mathbf{OC} - \mathbf{OA} ]
   • Тогда: [ \mathbf{AB} - \mathbf{AC} = (\mathbf{OB} - \mathbf{OA}) - (\mathbf{OC} - \mathbf{OA}) = \mathbf{OB} - \mathbf{OC} ]

5. Векторное представление:

   • Векторы ( \mathbf{OB} ) и ( \mathbf{OC} ) являются радиусами вектора, проходящими через центр пересечения диагоналей, поэтому: [ \mathbf{OB} = \langle 4.5, 0 \rangle ] [ \mathbf{OC} = \langle 0, 6 \rangle ]
   • Разность: [ \mathbf{OB} - \mathbf{OC} = \langle 4.5, 0 \rangle - \langle 0, 6 \rangle = \langle 4.5, -6 \rangle ]

6. Длина вектора ( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} ):

   • Вычисляем длину: [ |\mathbf{AB} - \mathbf{AC}| = \sqrt{4.5^2 + (-6)^2} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5 ]

Таким образом, длина вектора ( \mathbf{AB} - \mathbf{AC} ) равна 7.5.