Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 24 и 10 найдите скалярное произведение векторов...

Сначала найдем длины векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Поскольку диагонали ромба делятся пополам, получаем, что $|OA|=12$ и $|OB|=5$.

Теперь найдем косинус угла между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ используя скалярное произведение:

$$\cos\theta=\frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}$$

$$\cos\theta=\frac{12\cdot 5}{12\cdot 5}$$

$$\cos\theta=1$$

Так как угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равен нулю (они направлены в одну сторону), то скалярное произведение будет равно произведению длин векторов:

$$\vec{OA} \cdot \vec{OB}=12\cdot 5=60$$

Таким образом, скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB$ равно 60.

Для решения задачи сначала нужно разобраться с геометрическими свойствами ромба и его диагоналей.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба обладают следующими свойствами:

1. Они пересекаются под прямым углом.
2. Делят друг друга пополам.

В данном случае диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Пусть диагонали AC и BD равны 24 и 10, соответственно. Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей и делит их пополам, то:

AO = AC / 2 = 24 / 2 = 12, BO = BD / 2 = 10 / 2 = 5.

Теперь взглянем на векторы AO и BO. Так как диагонали пересекаются под прямым углом, векторы AO и BO перпендикулярны.

Скалярное произведение двух векторов можно найти по формуле: [ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta, ] где ( |\mathbf{A}| ) и ( |\mathbf{B}| ) — модули векторов, а ( \theta ) — угол между ними.

Поскольку векторы AO и BO перпендикулярны, угол между ними ( \theta = 90^\circ ).

Теперь используем значение косинуса для угла 90 градусов: [ \cos 90^\circ = 0. ]

Подставим всё в формулу скалярного произведения: [ \mathbf{AO} \cdot \mathbf{BO} = |\mathbf{AO}| |\mathbf{BO}| \cos 90^\circ = 12 \cdot 5 \cdot 0 = 0. ]

Таким образом, скалярное произведение векторов AO и BO равно нулю.