Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, отрезки AB и AO пропорциональны отрезкам AD и...

Давайте подробно разберём задачу.

Мы имеем параллелограмм (ABCD), диагонали которого пересекаются в точке (O). Известно, что отрезки (AB) и (AO) пропорциональны отрезкам (AD) и (AC). Нам нужно найти длину отрезка (CD), если (BC = 8) см.

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам. Это означает, что (O) является серединой диагоналей (AC) и (BD).
   • Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, (AB = CD) и (AD = BC).

2. Даны пропорции:

   • ( \frac{AB}{AD} = \frac{AO}{AC} ).

3. Подставим известные данные:

   • (AB = CD) (так как противоположные стороны параллелограмма равны).
   • (AD = BC = 8) см.

4. Используем пропорцию:

   • Подставим в пропорцию: ( \frac{CD}{8} = \frac{AO}{AC} ).
   • Поскольку (O) — середина диагонали (AC), то (AO = \frac{1}{2}AC).

5. Упрощение:

   • Подставив это в пропорцию, получаем: ( \frac{CD}{8} = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2} ).

6. Решение уравнения:

   • (CD = 8 \times \frac{1}{2} = 4).

Таким образом, длина отрезка (CD) равна 4 см.

Для решения этой задачи нам дано, что отрезки AB и AO пропорциональны отрезкам AD и AC. Это означает, что AB/AO = AD/AC.

Так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, то мы можем применить теорему Ван Обеля. Согласно этой теореме, отношение площадей треугольников AOB и AOD равно отношению площадей треугольников COB и COD. Или же можно сказать, что отношение площади треугольника AOB к площади треугольника AOD равно отношению диагоналей. То есть (1/2) AB AO / (1/2) AD AC = AB AO / AD AC = CO OB / CO OD.

Из условия задачи нам дано, что BC = 8 см, следовательно, CO = 8. Также мы знаем, что CO OB = CD BC. Подставим все известные данные в уравнение:

8 8 = CD 8 64 = 8CD CD = 8

Таким образом, CD равно 8 см.