Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Выразите вектор BO через векторы BA и BC

Чтобы выразить вектор ( \mathbf{BO} ) через векторы ( \mathbf{BA} ) и ( \mathbf{BC} ), нам нужно воспользоваться свойствами параллелограмма. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что точка ( O ) делит диагональ ( \mathbf{BD} ) на два равных отрезка, и аналогично делится диагональ ( \mathbf{AC} ).

Пусть:

• ( \mathbf{BA} = \mathbf{a} )
• ( \mathbf{BC} = \mathbf{b} )

Так как точка ( O ) является серединой диагоналей, мы можем записать: [ \mathbf{BO} = \frac{1}{2} \mathbf{BD} ]

Теперь найдём вектор ( \mathbf{BD} ) через ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

1. Выразим вектор ( \mathbf{BD} ) через векторы ( \mathbf{BA} ) и ( \mathbf{BC} ).

По определению векторов: [ \mathbf{BD} = \mathbf{BC} + \mathbf{CD} ]

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно: [ \mathbf{CD} = \mathbf{BA} ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{BD} ) можно записать как: [ \mathbf{BD} = \mathbf{b} + \mathbf{a} ]

1. Найдём ( \mathbf{BO} ).

Теперь подставим это выражение в формулу для ( \mathbf{BO} ): [ \mathbf{BO} = \frac{1}{2} (\mathbf{b} + \mathbf{a}) ]

Таким образом, вектор ( \mathbf{BO} ) через векторы ( \mathbf{BA} ) и ( \mathbf{BC} ) выражается как: [ \mathbf{BO} = \frac{1}{2} \mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{a} ]

Это выражение показывает, что точка ( O ) делит диагональ ( \mathbf{BD} ) на две равные части, что является свойством диагоналей параллелограмма.

Для того чтобы выразить вектор BO через векторы BA и BC, можно воспользоваться свойствами параллелограмма.

Поскольку диагонали параллелограмма пересекаются в точке O, то векторы OA и OC являются диагоналями параллелограмма. Таким образом, применим свойство параллелограмма, согласно которому вектор OA равен вектору OC.

Теперь рассмотрим треугольник OBC. Вектор OB можно выразить через векторы OA, AB и BC, используя свойство треугольника, согласно которому сумма векторов, проведенных из одной точки в другую, равна вектору, соединяющему эти две точки. Таким образом, можем записать:

OB = OA + AB + BC

Учитывая, что OA равен OC, а BC равен -BA (так как BC и BA являются диагоналями параллелограмма и, следовательно, равны по модулю и противоположны по направлению), получаем:

OB = OC + AB - BA

Таким образом, вектор BO можно выразить через векторы BA и BC следующим образом: BO = OC + AB - BA.