Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O , BO= 7, AB=6 . Найдите AC .

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, то есть ( OA = OC ) и ( OB = OD ). Поскольку BO = 7, то и ( OD = 7 ), и следовательно, длина диагонали BD равна ( BO + OD = 7 + 7 = 14 ).

Далее нам известно, что AB = 6. В прямоугольнике стороны, перпендикулярные друг другу, и диагонали, которые соединяют противоположные вершины, образуют прямоугольные треугольники. Так, диагональ AC делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника ( \triangle AOB ) и ( \triangle COD ).

Используя теорему Пифагора для треугольника ( \triangle AOB ), где AB и OB являются катетами, а AC – гипотенузой, получаем: [ AC^2 = AB^2 + OB^2 ] [ AC^2 = 6^2 + 7^2 ] [ AC^2 = 36 + 49 ] [ AC^2 = 85 ] [ AC = \sqrt{85} ]

Таким образом, длина диагонали AC прямоугольника ABCD равна ( \sqrt{85} ).

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора. В данном случае, треугольник ABO является прямоугольным, так как диагонали пересекаются под прямым углом.

Сначала найдем длину диагонали AO. По теореме Пифагора: AB^2 + BO^2 = AO^2 6^2 + 7^2 = AO^2 36 + 49 = AO^2 85 = AO^2 AO = √85

Аналогично, найдем длину диагонали CO. Так как треугольник BCO также является прямоугольным, то применим теорему Пифагора: BC^2 + BO^2 = CO^2 AB^2 + BO^2 = CO^2 6^2 + 7^2 = CO^2 36 + 49 = CO^2 85 = CO^2 CO = √85

Теперь, рассмотрим треугольник AOC. Диагональ AC является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: AO^2 + CO^2 = AC^2 √85^2 + √85^2 = AC^2 85 + 85 = AC^2 170 = AC^2 AC = √170

Итак, длина диагонали AC прямоугольника ABCD равна √170.