Диагональ равнобококой трапеции перпендикулярны, ее высота равна 7см, а ее периметр 30см.Найдите боковую...

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции.

Пусть b - боковая сторона трапеции, a - основание трапеции, h - высота трапеции, d - длина диагонали трапеции.

Из условия задачи нам известно, что диагонали трапеции перпендикулярны, поэтому можно составить прямоугольный треугольник с катетами a/2 и h, и гипотенузой d. Из этого треугольника можем выразить a через h и d: a = 2 * √(d^2 - h^2)

Также из условия задачи известно, что периметр трапеции равен 30 см: a + 2b = 30 2 * √(d^2 - h^2) + 2b = 30 √(d^2 - h^2) + b = 15

Теперь можем рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами b и h, и гипотенузой a. Из этого треугольника можем выразить b через h и a: b = √(a^2 - h^2) b = √((2 √(d^2 - h^2))^2 - h^2) b = √(4 (d^2 - h^2) - h^2) b = √(4d^2 - 4h^2 - h^2) b = √(4d^2 - 5h^2)

Теперь можем подставить найденное значение b в уравнение с периметром: √(4d^2 - 5h^2) + 15 = 30 √(4d^2 - 5 * 7^2) = 15 √(4d^2 - 245) = 15 4d^2 - 245 = 225 4d^2 = 470 d^2 = 117.5 d = √117.5 d ≈ 10.84

Теперь можем найти боковую сторону трапеции: b = √(4 117.5 - 5 7^2) b = √(470 - 245) b = √225 b = 15

Таким образом, боковая сторона трапеции равна 15 см.

Пусть боковая сторона трапеции равна ( a ), а основания равны ( b ) и ( c ). Так как диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то они делят трапецию на два прямоугольных треугольника.

По теореме Пифагора для одного из треугольников имеем: [ a^2 + \left( \dfrac{b-c}{2} \right)^2 = 7^2 ]

Также, по условию задачи, периметр трапеции равен 30: [ a + b + c + \sqrt{a^2 + \left( \dfrac{b-c}{2} \right)^2} = 30 ]

Из этих двух уравнений можно выразить боковую сторону ( a ).

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобокой (или равнобедренной) трапеции и фактом перпендикулярности её диагоналей.

1. Свойства равнобокой трапеции и перпендикулярные диагонали:

   • В равнобокой трапеции боковые стороны равны.
   • Диагонали равнобокой трапеции равны и перпендикулярны, если они перпендикулярны.

2. Разбор задачи:

   • Пусть ( a ) и ( b ) — длины оснований трапеции (где ( a > b )), ( c ) — длина боковой стороны, ( h = 7 ) см — высота, ( P = 30 ) см — периметр.
   • Периметр трапеции задаётся как ( P = a + b + 2c ).

3. Использование свойства перпендикулярности диагоналей:

   • Поскольку диагонали перпендикулярны, они делятся точкой пересечения пополам и формируют четыре прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников имеет катеты, равные половинам оснований ( \frac{a}{2} ) и ( \frac{b}{2} ), и гипотенузу ( c ) (боковая сторона трапеции). Из теоремы Пифагора: [ c^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 ]
   • Также можно записать это как: [ 4c^2 = a^2 + b^2 ]

4. Использование условия периметра и высоты:

   • Выразим ( a ) и ( b ) через ( c ) и ( h ): [ a + b = 30 - 2c ]
   • Используя свойство площади трапеции ( S = \frac{1}{2}(a+b)h ): [ S = \frac{1}{2}(30-2c) \cdot 7 ]
   • Но для использования в решении нам нужно выразить ( a ) и ( b ) через ( c ), пользуясь свойством перпендикулярности диагоналей: [ \left(\frac{30 - 2c}{2}\right)^2 = 4c^2 ]
   • Упрощаем и решаем относительно ( c ): [ (15 - c)^2 = 4c^2 ] [ 225 - 30c + c^2 = 4c^2 ] [ 3c^2 + 30c - 225 = 0 ] [ c^2 + 10c - 75 = 0 ]
   • Решаем квадратное уравнение: [ c = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 300}}{2} = \frac{-10 \pm 20}{2} ] [ c = 5 \text{ см или } c = -15 \text{ см (неприемлемо)} ]

Таким образом, боковая сторона трапеции ( c ) равна 5 см.