Диагональ правильнойчетырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30⁰. Найдите:...

a) Пусть сторона основания призмы равна b. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и стороной основания, получаем: a^2 = b^2 + b^2 a^2 = 2b^2 a = b√2

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен углу между диагональю и боковой гранью призмы, то есть 30⁰.

в) Площадь боковой поверхности призмы можно найти по формуле: Sб = a l, где l - длина боковой грани призмы. Так как угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 30⁰, то l = asin(30⁰) = a0.5. Подставляем значение a: Sб = a l = a a 0.5 = a^2 0.5 = (b√2)^2 0.5 = 2b^2 * 0.5 = b^2

г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы, равна площади параллелограмма, образованного диагональю и стороной основания. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: Sп = a b sin(30⁰) = ab/2. Подставляем значение a = b√2: Sп = b√2 b 0.5 = b^2√2 * 0.5 = b^2 / √2

Таким образом, мы нашли все необходимые значения: а) сторона основания призмы - b√2; б) угол между диагональю призмы и плоскостью основания - 30⁰; в) площадь боковой поверхности призмы - b^2; г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельной диагонали призмы - b^2 / √2.

а) Сторона основания призмы равна a√3 б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 60⁰ в) Площадь боковой поверхности призмы равна 3a^2 г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы, равна a^2/2

Для решения задачи давайте сначала разберемся с геометрией правильной четырёхугольной призмы. Предположим, что основанием призмы является квадрат со стороной ( s ). Высота призмы обозначим как ( h ).

1. Диагональ призмы: Диагональ правильной четырёхугольной призмы соединяет две противоположные вершины по пространству. Пусть диагональ призмы равна ( a ). Тогда, по теореме Пифагора, длина диагонали выражается как: [ a = \sqrt{s^2 + s^2 + h^2} = \sqrt{2s^2 + h^2} ]

2. Угол между диагональю и боковой гранью: Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен 30°. Рассмотрим проекцию диагонали на боковую грань. Эта проекция будет равна ( \sqrt{s^2 + h^2} ).

   Из тригонометрического определения угла: [ \cos 30° = \frac{\sqrt{s^2 + h^2}}{a} = \frac{\sqrt{s^2 + h^2}}{\sqrt{2s^2 + h^2}} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{s^2 + h^2}}{\sqrt{2s^2 + h^2}} ]

   Возведем обе стороны в квадрат и упростим: [ \frac{3}{4} = \frac{s^2 + h^2}{2s^2 + h^2} ] [ 3(2s^2 + h^2) = 4(s^2 + h^2) ] [ 6s^2 + 3h^2 = 4s^2 + 4h^2 ] [ 2s^2 = h^2 ] [ h = \sqrt{2}s ]

3. Сторона основания призмы: Подставим значение ( h = \sqrt{2}s ) в уравнение для диагонали: [ a = \sqrt{2s^2 + 2s^2} = \sqrt{4s^2} = 2s ] Отсюда ( s = \frac{a}{2} ).

4. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания: Угол между диагональю и плоскостью основания можно найти через синус: [ \sin \theta = \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{2}s}{2s} = \frac{\sqrt{2}}{2} ] Следовательно, (\theta = 45°).

5. Площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на высоту: [ S_{\text{бок}} = 4s \cdot h = 4 \cdot \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = 2a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a^2\sqrt{2} ]

6. Площадь сечения плоскостью, параллельной диагонали призмы: Эта плоскость пересекает призму, образуя прямоугольник с одной стороной равной диагонали основания ( s\sqrt{2} ), и другой стороной, равной высоте призмы: [ S_{\text{сечения}} = s\sqrt{2} \cdot h = \frac{a}{2}\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2} ]

Таким образом, мы получили следующие результаты:

а) Сторона основания призмы: ( s = \frac{a}{2} ).

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания: ( 45° ).

в) Площадь боковой поверхности призмы: ( a^2\sqrt{2} ).

г) Площадь сечения плоскостью, параллельной диагонали призмы: ( \frac{a^2}{2} ).