Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 8 см, и образует с плоскостью основания угол 45 градусов...

Для решения задачи давайте разберёмся с геометрией правильной четырехугольной призмы и используем данные, чтобы найти её размеры и площадь полной поверхности.

1. Понимание задачи:

   • Правильная четырехугольная призма означает, что основанием призмы является квадрат.
   • Диагональ призмы (которая проходит от одной вершины верхнего основания к противоположной вершине нижнего основания) равна 8 см и образует угол 45° с плоскостью основания.

2. Диагональ призмы: Назовем длину стороны квадрата ( a ) и высоту призмы ( h ). Диагональ призмы ( d ) можно выразить через диагональ основания (которая является квадратом) и высоту призмы ( h ).

   Диагональ основания квадратной призмы равна ( a\sqrt{2} ).

   Диагональ самой призмы ( d ) образует прямоугольный треугольник с одной стороной как диагональ основания ( a\sqrt{2} ) и другой стороной как высота призмы ( h ).

   Поэтому, по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} ]

3. Угол 45 градусов: Диагональ призмы образует угол 45° с плоскостью основания, следовательно: [ \tan(45°) = 1 = \frac{h}{a\sqrt{2}} ] Отсюда: [ h = a\sqrt{2} ]

4. Подстановка и решение: Теперь подставим значение диагонали ( d = 8 см ) в уравнение диагонали призмы: [ 8 = \sqrt{2a^2 + (a\sqrt{2})^2} ] [ 8 = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a ] Откуда: [ a = 4 см ]

5. Высота призмы: Используя найденное значение ( a ): [ h = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} см ]

6. Площадь полной поверхности призмы: Полная поверхность правильной четырехугольной призмы состоит из двух квадратных оснований и четырех боковых прямоугольных граней.

   Площадь одного основания: [ S_{\text{основания}} = a^2 = 4^2 = 16 см^2 ]

   Площадь боковой поверхности (четыре прямоугольника с размерами ( a \times h )): [ S_{\text{боковой}} = 4 \cdot a \cdot h = 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2} см^2 ]

   Полная площадь поверхности призмы: [ S{\text{полная}} = 2 \cdot S{\text{основания}} + S_{\text{боковой}} = 2 \cdot 16 + 64\sqrt{2} = 32 + 64\sqrt{2} см^2 ]

Итак, площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы составляет ( 32 + 64\sqrt{2} ) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади полной поверхности правильной четырехугольной призмы нужно учитывать площадь всех ее граней.

Площадь боковой поверхности призмы можно найти по формуле Sб = Периметр основания высота призмы. Периметр основания правильной четырехугольной призмы равен 4 сторона основания. Так как угол между диагональю и плоскостью основания составляет 45 градусов, то сторона основания равна 8 / cos(45°) = 8√2. Высоту призмы обозначим за h.

Таким образом, Sб = 4 8√2 h = 32√2h.

Площадь основания призмы равна Sосн = сторона^2 = (8√2)^2 = 128.

Площадь каждой из двух оснований равна Sосн = 128, поэтому площадь обеих оснований равна 2 * 128 = 256.

Теперь найдем площадь боковой поверхности призмы. Так как призма имеет четыре боковые грани, то Sбок = 4 * 32√2h = 128√2h.

Итак, общая площадь поверхности призмы S = Sбок + 2 * Sосн = 128√2h + 256.