Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 10 см и составляет угол 30 градусов с плоскостью боковой...

Для нахождения площади полной поверхности призмы нужно учесть площади всех ее граней.

Поскольку призма правильная, то у нее есть две равные правильные пятиугольные основы и четыре равные боковые грани, которые являются прямоугольными треугольниками.

Площадь одной боковой грани можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: ( S = \frac{1}{2} \times a \times b ), где a и b - катеты треугольника.

Так как диагональ равна 10 см, а угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 30 градусам, то можно найти длины катетов треугольника, применяя тригонометрические функции.

Для нахождения площади одной боковой грани нужно умножить найденные катеты и поделить на 2.

После этого можно найти площадь одной из оснований призмы, учитывая, что это правильный пятиугольник. Площадь правильного пятиугольника можно найти с помощью формулы: ( S = \frac{5}{4} \times a^2 \times \cot(\frac{\pi}{5}) ), где a - длина стороны пятиугольника.

После нахождения площадей всех граней призмы, нужно сложить их вместе, чтобы найти площадь полной поверхности призмы.

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы, нам нужно знать размеры её основания и высоту. Давайте разберём задачу шаг за шагом.

1. Понимание задачи: Мы имеем правильную четырёхугольную призму, то есть её основание — квадрат. Диагональ призмы составляет угол 30 градусов с плоскостью боковой грани.

2. Диагональ призмы: Диагональ призмы проходит от одной вершины основания до противоположной вершины верхнего основания. Если обозначить сторону основания за ( a ) и высоту призмы за ( h ), то диагональ призмы ( d ) можно выразить, используя теорему Пифагора для трёхмерного тела: [ d = \sqrt{a^2 + h^2} ] По условию, ( d = 10 ) см.

3. Угол между диагональю и плоскостью боковой грани: Угол между диагональю и плоскостью боковой грани — это угол между диагональю и проекцией диагонали на эту плоскость. Поскольку боковая грань — прямоугольник с высотой ( h ) и стороной основания ( a ), проекция диагонали призмы на боковую грань будет её высотой ( h ).

4. Использование угла 30 градусов: [ \cos(30^\circ) = \frac{h}{d} ] Подставим известные значения: [ \frac{h}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ h = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} ]

5. Нахождение стороны основания: Используем формулу для диагонали: [ 10 = \sqrt{a^2 + (5\sqrt{3})^2} ] [ 10 = \sqrt{a^2 + 75} ] [ 100 = a^2 + 75 ] [ a^2 = 25 ] [ a = 5 ]

6. Площадь полной поверхности призмы: Площадь полной поверхности призмы состоит из двух площадей квадратных оснований и четырёх боковых прямоугольников: [ S{\text{осн}} = 2a^2 = 2 \times 5^2 = 50 ] [ S{\text{бок}} = 4ah = 4 \times 5 \times 5\sqrt{3} = 100\sqrt{3} ] [ S{\text{полная}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 50 + 100\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырёхугольной призмы равна ( 50 + 100\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.

Площадь полной поверхности призмы равна 350 квадратных сантиметров.