Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из 434 , а диагонали его боковых граней корень из 313 см и корень из 265 см. Определить полную поверхность параллелепипеда.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из 434 , а диагонали его боковых граней корень из 313 см и корень из 265 см. Определить полную поверхность параллелепипеда.
Для решения данной задачи нам понадобится знание формулы для расчета полной поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Полная поверхность параллелепипеда состоит из поверхности его шести граней: двух оснований и четырех боковых граней.
Пусть a, b и c - длины сторон основания параллелепипеда, а h - его высота. Тогда поверхность основания равна ab, bc и ac, а боковых граней 2ah, 2bh и 2ch.
Из условия задачи у нас есть следующие данные: Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из 434. Диагонали его боковых граней равны корню из 313 и корню из 265.
По определению диагонали прямоугольного параллелепипеда: d^2 = a^2 + b^2 + c^2, где d - диагональ, a, b, c - длины сторон основания.
Таким образом, имеем: 434 = a^2 + b^2 + c^2, 313 = a^2 + h^2, 265 = b^2 + h^2.
Решая данную систему уравнений, найдем значения a, b и h. После этого сможем найти полную поверхность параллелепипеда, сложив площади всех его граней.
Далее необходимо вычислить площади граней и сложить их, чтобы найти полную поверхность параллелепипеда.
Чтобы найти полную поверхность прямоугольного параллелепипеда, нужно сначала определить длины его рёбер. Дано, что диагональ параллелепипеда равна (\sqrt{434}), а диагонали боковых граней равны (\sqrt{313}) и (\sqrt{265}).
Обозначим рёбра параллелепипеда как (a), (b) и (c). Диагональ параллелепипеда выражается формулой:
[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{434} ]
Отсюда:
[ a^2 + b^2 + c^2 = 434 ]
Диагонали граней параллелепипеда можно представить следующим образом:
[ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{313} ]
Отсюда:
[ a^2 + b^2 = 313 ]
[ \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{265} ]
Отсюда:
[ b^2 + c^2 = 265 ]
Теперь у нас есть три уравнения:
[ a^2 + b^2 + c^2 = 434 ]
[ a^2 + b^2 = 313 ]
[ b^2 + c^2 = 265 ]
Чтобы найти (c^2), вычтем второе уравнение из первого:
[ c^2 = 434 - 313 = 121 ]
Таким образом, (c = \sqrt{121} = 11).
Теперь найдём (a^2). Для этого вычтем третье уравнение из первого:
[ a^2 = 434 - 265 = 169 ]
Таким образом, (a = \sqrt{169} = 13).
Теперь найдём (b^2) из второго уравнения:
[ b^2 = 313 - a^2 = 313 - 169 = 144 ]
Таким образом, (b = \sqrt{144} = 12).
Итак, рёбра параллелепипеда равны (a = 13), (b = 12), (c = 11).
Теперь мы можем найти полную поверхность параллелепипеда, используя формулу:
[ S = 2(ab + bc + ac) ]
Подставим найденные значения:
[ S = 2(13 \times 12 + 12 \times 11 + 13 \times 11) ]
[ S = 2(156 + 132 + 143) ]
[ S = 2 \times 431 = 862 ]
Таким образом, полная поверхность параллелепипеда равна 862 квадратным сантиметрам.
