Диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 4 см . Найдите эту диагональ, если периметр прямоугольника...

Для решения задачи введем обозначения для сторон прямоугольника: пусть ( a ) и ( b ) — длины сторон прямоугольника, а ( d ) — длина его диагонали.

Согласно условию, диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 4 см. Предположим, что это сторона ( a ), то есть:

[ d = a + 4 ]

Также известно, что периметр прямоугольника равен 28 см. Периметр ( P ) прямоугольника выражается формулой:

[ P = 2(a + b) = 28 ]

Отсюда получаем:

[ a + b = 14 ]

По теореме Пифагора для прямоугольника диагональ ( d ) связана с его сторонами ( a ) и ( b ) следующим образом:

[ d^2 = a^2 + b^2 ]

Подставим выражение для диагонали ( d = a + 4 ) в уравнение Пифагора:

[ (a + 4)^2 = a^2 + b^2 ]

Раскроем скобки:

[ a^2 + 8a + 16 = a^2 + b^2 ]

Сократим ( a^2 ) с обеих сторон:

[ 8a + 16 = b^2 ]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. ( a + b = 14 )
2. ( 8a + 16 = b^2 )

Из первого уравнения выразим ( b ):

[ b = 14 - a ]

Подставим это выражение во второе уравнение:

[ 8a + 16 = (14 - a)^2 ]

Раскроем скобки:

[ 8a + 16 = 196 - 28a + a^2 ]

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

[ a^2 - 36a + 180 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант ( D ):

[ D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 1296 - 720 = 576 ]

Корни уравнения:

[ a_{1,2} = \frac{36 \pm \sqrt{576}}{2} ]

[ a_{1,2} = \frac{36 \pm 24}{2} ]

Отсюда:

[ a_1 = \frac{36 + 24}{2} = 30, \quad a_2 = \frac{36 - 24}{2} = 6 ]

Поскольку сторона прямоугольника не может быть больше суммы всех сторон (так как ( a + b = 14 )), берем ( a = 6 ).

Теперь найдем ( b ):

[ b = 14 - a = 14 - 6 = 8 ]

Найдем диагональ ( d ) с использованием выражения ( d = a + 4 ):

[ d = 6 + 4 = 10 ]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна 10 см.

Обозначим стороны прямоугольника за a и b, где a > b. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

a + b = 14 (периметр прямоугольника равен 28 см) a^2 + b^2 = (a + 4)^2 (диагональ прямоугольника больше одной из его сторон на 4 см)

Разложим второе уравнение на множители:

a^2 + b^2 = a^2 + 8a + 16 b^2 = 8a + 16

Подставим это выражение в первое уравнение:

a + (8a + 16) = 14 9a + 16 = 14 9a = -2 a = -2/9

Так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, получаем, что наше предположение о том, что a > b, неверно. Попробуем обратное:

b + a = 14 b^2 = 8b + 16

Подставляем в первое уравнение:

b + (8b + 16) = 14 9b + 16 = 14 9b = -2 b = -2/9

Так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными, получаем, что наше предположение о том, что a > b, также неверно. Значит, данная задача не имеет решения.