Диагональ осевого сечения равна 8 корень квадратный из 2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Диагональ осевого сечения равна 8 корень квадратный из 2 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам сначала необходимо определить его размеры: радиус основания ( r ) и высоту ( h ).
Дано, что диагональ осевого сечения цилиндра равна ( 8\sqrt{2} ) дм и угол между этой диагональю и плоскостью основания составляет 45°.
Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, где одна сторона (ширина) равна диаметру основания цилиндра ( 2r ), а другая сторона (высота) равна высоте цилиндра ( h ). Диагональ же этого прямоугольника образует с плоскостью основания угол, равный 45°. Так как тангенс угла 45° равен 1, это означает, что высота и диаметр основания цилиндра равны друг другу. То есть ( h = 2r ).
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой ( h ), диаметром основания ( 2r ) и диагональю осевого сечения (гипотенузой). По теореме Пифагора: [ (2r)^2 + h^2 = (8\sqrt{2})^2 ] [ 4r^2 + (2r)^2 = 128 ] [ 4r^2 + 4r^2 = 128 ] [ 8r^2 = 128 ] [ r^2 = 16 ] [ r = 4 \text{ дм} ] Так как ( h = 2r ), то ( h = 8 \text{ дм} ).
Теперь, когда известны радиус и высота, можно найти площадь полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: [ S{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 ] Подставим значения: [ S{\text{полн}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 8 + 2\pi \cdot 4^2 ] [ S_{\text{полн}} = 64\pi + 32\pi = 96\pi ]
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет ( 96\pi ) квадратных дециметров.
Для начала найдем радиус цилиндра. Поскольку диагональ осевого сечения равна 8√2 дм, а угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусов, то мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса.
Пусть радиус цилиндра равен r дм. Тогда диагональ осевого сечения можно представить как √(r^2 + h^2), где h - высота цилиндра.
Имеем уравнение: √(r^2 + h^2) = 8√2
В данном случае h = r*tg(45°) = r, так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусов.
Теперь подставим h = r в уравнение: √(r^2 + r^2) = 8√2 √2r = 8√2 r = 4
Теперь найдем площадь полной поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πrh, а площадь двух оснований равна 2πr^2.
S = 2πrh + 2πr^2 S = 2π 4 4 + 2π * 4^2 S = 32π + 32π S = 64π
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна 64π дм².
