Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и составляет с образующей угол 60 градусов. найдите площадь...

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для площади полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле: Sб = 2πrh, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Для нахождения радиуса основания и высоты цилиндра воспользуемся данными о диагонали осевого сечения и угле между диагональю и образующей.

По теореме косинусов для прямоугольного треугольника, где один из углов равен 60 градусов, имеем: d^2 = r^2 + h^2 - 2rh*cos(60°), где d - диагональ осевого сечения.

Подставляем известные значения: 8^2 = r^2 + h^2 - 2rh*cos(60°)

64 = r^2 + h^2 - rh

Также зная, что угол между диагональю и образующей равен 60°, можем записать: cos(60°) = h/d = h/8

Отсюда h = 8cos(60°) = 8*0.5 = 4 см

Подставляем значение h в уравнение: 64 = r^2 + 4^2 - 4r

r^2 - 4r + 16 = 0

(r - 2)^2 = 0

r = 2 см

Теперь, когда мы знаем радиус и высоту цилиндра, можем найти площадь боковой поверхности: Sб = 2π24 = 16π см^2

Площадь двух оснований цилиндра равна: Sосн = 2πr^2 = 2π*2^2 = 8π см^2

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна: S = Sб + Sосн = 16π + 8π = 24π см^2.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам необходимо определить радиус основания цилиндра ( r ) и высоту цилиндра ( h ). Зная эти параметры, мы можем использовать формулу для площади полной поверхности:

[ S = 2\pi r (r + h). ]

Давайте разберёмся с данными задачи. У нас есть осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Также дан угол между диагональю и образующей цилиндра, равный 60 градусов. Образующая цилиндра — это высота прямоугольника в осевом сечении.

1. Определим высоту и радиус цилиндра.

   Осевое сечение цилиндра образует прямоугольник с высотой ( h ) и стороной, равной диаметру основания цилиндра ( 2r ). Диагональ этого прямоугольника равна 8 см.

   Из условия задачи дано, что угол между диагональю и образующей (высотой) равен 60 градусов. Обозначим диагональ прямоугольника как ( d ).

   Давайте используем тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой ( d = 8 ), катетами ( h ) и ( 2r ), угол между гипотенузой и катетом ( h ) равен 60 градусов:

   [ \cos(60^\circ) = \frac{h}{d} = \frac{h}{8}. ]

   ( \cos(60^\circ) = 0.5 ), поэтому:

   [ \frac{h}{8} = 0.5 \quad \Rightarrow \quad h = 4 \text{ см}. ]

   Теперь найдём ( 2r ) — другой катет прямоугольного треугольника:

   [ \sin(60^\circ) = \frac{2r}{8}. ]

   ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому:

   [ \frac{2r}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad 2r = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad r = 2\sqrt{3}. ]

2. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра.

   Подставим найденные значения ( r ) и ( h ) в формулу площади полной поверхности:

   [ S = 2\pi r (r + h). ]

   [ S = 2\pi (2\sqrt{3}) (2\sqrt{3} + 4). ]

   Сначала найдём ( r + h ):

   [ r + h = 2\sqrt{3} + 4. ]

   Подставим это значение в формулу для площади:

   [ S = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 4). ]

   Разложим выражение:

   [ S = 4\pi\sqrt{3} \cdot (2\sqrt{3} + 4). ]

   [ S = 4\pi\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 4\pi\sqrt{3} \cdot 4. ]

   [ S = 8\pi \cdot 3 + 16\pi\sqrt{3}. ]

   [ S = 24\pi + 16\pi\sqrt{3}. ]

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет ( 24\pi + 16\pi\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.