Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и составляет с образующей угол 60 градусов. найдите площадь...

Тематика Геометрия
Уровень 10 - 11 классы
геометрия цилиндр осевое сечение площадь поверхности математика угол образующая
0

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и составляет с образующей угол 60 градусов. найдите площадь полной поверхности цилиндра.

avatar
задан 5 месяцев назад

2 Ответа

0

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для площади полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле: Sб = 2πrh, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Для нахождения радиуса основания и высоты цилиндра воспользуемся данными о диагонали осевого сечения и угле между диагональю и образующей.

По теореме косинусов для прямоугольного треугольника, где один из углов равен 60 градусов, имеем: d^2 = r^2 + h^2 - 2rh*cos60°, где d - диагональ осевого сечения.

Подставляем известные значения: 8^2 = r^2 + h^2 - 2rh*cos60°

64 = r^2 + h^2 - rh

Также зная, что угол между диагональю и образующей равен 60°, можем записать: cos60° = h/d = h/8

Отсюда h = 8cos60° = 8*0.5 = 4 см

Подставляем значение h в уравнение: 64 = r^2 + 4^2 - 4r

r^2 - 4r + 16 = 0

r2^2 = 0

r = 2 см

Теперь, когда мы знаем радиус и высоту цилиндра, можем найти площадь боковой поверхности: Sб = 2π24 = 16π см^2

Площадь двух оснований цилиндра равна: Sосн = 2πr^2 = 2π*2^2 = 8π см^2

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна: S = Sб + Sосн = 16π + 8π = 24π см^2.

avatar
ответил 5 месяцев назад
0

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам необходимо определить радиус основания цилиндра r и высоту цилиндра h. Зная эти параметры, мы можем использовать формулу для площади полной поверхности:

S=2πr(r+h).

Давайте разберёмся с данными задачи. У нас есть осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Также дан угол между диагональю и образующей цилиндра, равный 60 градусов. Образующая цилиндра — это высота прямоугольника в осевом сечении.

  1. Определим высоту и радиус цилиндра.

    Осевое сечение цилиндра образует прямоугольник с высотой h и стороной, равной диаметру основания цилиндра 2r. Диагональ этого прямоугольника равна 8 см.

    Из условия задачи дано, что угол между диагональю и образующей высотой равен 60 градусов. Обозначим диагональ прямоугольника как d.

    Давайте используем тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой d=8, катетами h и 2r, угол между гипотенузой и катетом h равен 60 градусов:

    cos(60)=hd=h8.

    cos(60 = 0.5 ), поэтому:

    h8=0.5h=4 см.

    Теперь найдём 2r — другой катет прямоугольного треугольника:

    sin(60)=2r8.

    sin(60 = \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому:

    2r8=322r=832=43r=23.

  2. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра.

    Подставим найденные значения r и h в формулу площади полной поверхности:

    S=2πr(r+h).

    S=2π(23)(23+4).

    Сначала найдём r+h:

    r+h=23+4.

    Подставим это значение в формулу для площади:

    S=2π23(23+4).

    Разложим выражение:

    S=4π3(23+4).

    S=4π323+4π34.

    S=8π3+16π3.

    S=24π+16π3.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет 24π+16π3 квадратных сантиметров.

avatar
ответил 5 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме