Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и составляет с образующей угол 60 градусов. найдите площадь...

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для площади полной поверхности цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле: Sб = 2πrh, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Для нахождения радиуса основания и высоты цилиндра воспользуемся данными о диагонали осевого сечения и угле между диагональю и образующей.

По теореме косинусов для прямоугольного треугольника, где один из углов равен 60 градусов, имеем: d^2 = r^2 + h^2 - 2rh*cos$60°$, где d - диагональ осевого сечения.

Подставляем известные значения: 8^2 = r^2 + h^2 - 2rh*cos$60°$

64 = r^2 + h^2 - rh

Также зная, что угол между диагональю и образующей равен 60°, можем записать: cos$60°$ = h/d = h/8

Отсюда h = 8cos$60°$ = 8*0.5 = 4 см

Подставляем значение h в уравнение: 64 = r^2 + 4^2 - 4r

r^2 - 4r + 16 = 0

$r-2$^2 = 0

r = 2 см

Теперь, когда мы знаем радиус и высоту цилиндра, можем найти площадь боковой поверхности: Sб = 2π24 = 16π см^2

Площадь двух оснований цилиндра равна: Sосн = 2πr^2 = 2π*2^2 = 8π см^2

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна: S = Sб + Sосн = 16π + 8π = 24π см^2.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам необходимо определить радиус основания цилиндра $r$ и высоту цилиндра $h$. Зная эти параметры, мы можем использовать формулу для площади полной поверхности:

$S=2\pi r(r+h).$

Давайте разберёмся с данными задачи. У нас есть осевое сечение цилиндра — прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Также дан угол между диагональю и образующей цилиндра, равный 60 градусов. Образующая цилиндра — это высота прямоугольника в осевом сечении.

1. Определим высоту и радиус цилиндра.

   Осевое сечение цилиндра образует прямоугольник с высотой $h$ и стороной, равной диаметру основания цилиндра $2r$. Диагональ этого прямоугольника равна 8 см.

   Из условия задачи дано, что угол между диагональю и образующей $высотой$ равен 60 градусов. Обозначим диагональ прямоугольника как $d$.

   Давайте используем тригонометрические соотношения. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $d=8$, катетами $h$ и $2r$, угол между гипотенузой и катетом $h$ равен 60 градусов:

   $\cos ({60}^{\circ })=\frac{h}{d}=\frac{h}{8}.$

   $\cos ({60}^{\circ }$ = 0.5 ), поэтому:

   $\frac{h}{8}=0.5\Rightarrow h=4\text{ см}.$

   Теперь найдём $2r$ — другой катет прямоугольного треугольника:

   $\sin ({60}^{\circ })=\frac{2r}{8}.$

   $\sin ({60}^{\circ }$ = \frac{\sqrt{3}}{2} ), поэтому:

   $\frac{2r}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2r=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow r=2\sqrt{3}.$

2. Вычислим площадь полной поверхности цилиндра.

   Подставим найденные значения $r$ и $h$ в формулу площади полной поверхности:

   $S=2\pi r(r+h).$

   $S=2\pi (2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+4).$

   Сначала найдём $r+h$:

   $r+h=2\sqrt{3}+4.$

   Подставим это значение в формулу для площади:

   $S=2\pi \cdot 2\sqrt{3}\cdot (2\sqrt{3}+4).$

   Разложим выражение:

   $S=4\pi \sqrt{3}\cdot (2\sqrt{3}+4).$

   $S=4\pi \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}+4\pi \sqrt{3}\cdot 4.$

   $S=8\pi \cdot 3+16\pi \sqrt{3}.$

   $S=24\pi +16\pi \sqrt{3}.$

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет $24\pi +16\pi \sqrt{3}$ квадратных сантиметров.