Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 и образует с плоскостью основания угол 30 град найти Sбоковое...

Для решения задачи начнем с анализа данной информации:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12.
2. Угол между диагональю и плоскостью основания составляет 30 градусов.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, где одна сторона равна высоте цилиндра (h), а другая — диаметру основания (d = 2r), где (r) — радиус основания цилиндра.

Диагональ осевого сечения (прямоугольника) равна 12. Обозначим её как (d_{ос}). Используем теорему Пифагора для прямоугольника, чтобы выразить диагональ через (h) и (d):

[ d_{ос} = \sqrt{h^2 + d^2} ]

Поскольку диагональ равна 12:

[ 12 = \sqrt{h^2 + (2r)^2} ] [ 12 = \sqrt{h^2 + 4r^2} ]

Также дан угол 30 градусов между диагональю и плоскостью основания. Это значит, что:

[ \cos 30^\circ = \frac{d}{d_{ос}} = \frac{2r}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{2r}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{r}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ r = 3\sqrt{3} ]

Теперь найдем высоту (h):

[ 12 = \sqrt{h^2 + 4r^2} ] [ 12^2 = h^2 + 4(3\sqrt{3})^2 ] [ 144 = h^2 + 4 \cdot 27 ] [ 144 = h^2 + 108 ] [ h^2 = 36 ] [ h = 6 ]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности (S_{бок}):

[ S{бок} = 2\pi rh ] [ S{бок} = 2\pi \cdot 3\sqrt{3} \cdot 6 ] [ S_{бок} = 36\pi\sqrt{3} ]

Площадь полной поверхности (S_{полн}) включает боковую поверхность и два основания:

[ S{осн} = \pi r^2 ] [ S{осн} = \pi (3\sqrt{3})^2 ] [ S{осн} = \pi \cdot 27 ] [ S{осн} = 27\pi ]

[ S{полн} = S{бок} + 2S{осн} ] [ S{полн} = 36\pi\sqrt{3} + 2 \cdot 27\pi ] [ S_{полн} = 36\pi\sqrt{3} + 54\pi ]

Объем цилиндра (V):

[ V = \pi r^2 h ] [ V = \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 6 ] [ V = \pi \cdot 27 \cdot 6 ] [ V = 162\pi ]

Итак, ответы:

• Площадь боковой поверхности (S_{бок}) = (36\pi\sqrt{3})
• Площадь полной поверхности (S_{полн}) = (36\pi\sqrt{3} + 54\pi)
• Объем (V) = (162\pi)

Для решения этой задачи нам необходимо использовать знания геометрии и формулы для нахождения площади боковой поверхности, полной поверхности и объема цилиндра.

Для начала найдем радиус основания цилиндра. Пусть r - радиус основания цилиндра, тогда длина диагонали осевого сечения цилиндра равна диаметру основания, то есть 2r. Из условия задачи 2r = 12, откуда r = 6.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле Sбок = 2πrh, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра. Учитывая, что угол между диагональю и плоскостью основания 30 градусов, то h = r cos(30 град) = 6 cos(30 град) = 6 √3 / 2 = 3√3. Таким образом, Sбок = 2π 6 * 3√3 = 36π√3.

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле Sпол = 2πr(r + h), где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра. Подставляя значения, получаем Sпол = 2π * 6(6 + 3√3) = 72π + 36π√3.

Объем цилиндра вычисляется по формуле V = πr^2h, где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра. Подставляя значения, получаем V = π 6^2 3√3 = 108π√3.

Итак, мы нашли площадь боковой поверхности Sбок = 36π√3, площадь полной поверхности Sпол = 72π + 36π√3 и объем V = 108π√3 цилиндра.