Диагональ куба равна 9 см Найти косинус угла между диагональю куба и плоскостью одного из его граней

Для куба с диагональю 9 см, косинус угла между диагональю и плоскостью одной из его граней равен 1/√3.

Для решения данной задачи нам необходимо знать, что диагональ куба является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого катеты равны сторонам куба. Таким образом, длина катета куба равна a, где a - сторона куба, а длина диагонали куба равна √3a.

В данном случае, диагональ куба равна 9 см, следовательно, √3a = 9 см. Отсюда находим длину стороны куба: a = 9 / √3 = 3√3 см.

Теперь нам нужно найти косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. Так как диагональ и сторона куба образуют прямой угол, то косинус этого угла равен отношению длины стороны куба к длине диагонали куба: cos(угол) = a / √3a = 1 / √3 = √3 / 3.

Итак, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен √3 / 3.

Для решения задачи найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

1. Диагональ куба: Диагональ куба, которая проходит через его центр и соединяет противоположные вершины, имеет длину, равную (d = a\sqrt{3}), где (a) — длина ребра куба. В условии задачи дано, что диагональ равна 9 см: [ a\sqrt{3} = 9. ] Отсюда находим (a): [ a = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}. ]

2. Диагональ грани куба: Диагональ любой грани куба равна (a\sqrt{2}). Подставим найденное значение (a): [ a\sqrt{2} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}. ]

3. Угол между диагональю куба и плоскостью грани: Для нахождения угла между диагональю куба и плоскостью грани, косинус этого угла равен отношению длины проекции диагонали куба на эту плоскость к длине самой диагонали куба.

   Проекция диагонали куба на плоскость грани — это диагональ этой грани. Следовательно, длина проекции равна (a\sqrt{2}). Полная длина диагонали куба — (a\sqrt{3}).

4. Косинус угла: [ \cos \theta = \frac{\text{проекция диагонали куба на плоскость}}{\text{длина диагонали куба}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. ]

5. Упростим выражение: [ \cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}. ]

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен (\frac{\sqrt{6}}{3}).