Диагональ грани куба равна корень из 8. Найдите его объем.

Для нахождения объема куба с диагональю грани, равной корню из 8, нам необходимо найти длину ребра куба сначала.

По формуле диагонали куба d = √3 a, где d - диагональ, а - длина ребра. Из условия задачи d = √8, следовательно, √8 = √3 a. Делим обе стороны на √3: a = √8 / √3 = √(8 / 3) = √(24 / 9) = √(8 / 3) = √(8 * 3) / 3 = 2√3 / 3 = 2√3 / 3.

Теперь, для нахождения объема куба с длиной ребра a = 2√3 / 3, используем формулу объема куба V = a^3: V = (2√3 / 3)^3 = (8 * 3√3) / 27 = 24√3 / 27 = 8√3 / 9.

Таким образом, объем куба с диагональю грани, равной корню из 8, равен 8√3 / 9.

Чтобы найти объем куба, нужно сначала определить длину его ребра. Нам известно, что диагональ грани куба равна (\sqrt{8}).

Для квадрата (грани куба) диагональ (d) связана с длиной стороны (a) следующим образом:

[ d = a\sqrt{2} ]

По условию, диагональ грани равна (\sqrt{8}). Подставим это значение в формулу:

[ \sqrt{8} = a\sqrt{2} ]

Чтобы найти (a), выразим его:

[ a = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} ]

Упростим дробь:

[ a = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4 \times 2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 ]

Теперь, когда мы знаем, что длина ребра куба (a) равна 2, можем найти его объем. Формула для объема куба (V) с длиной ребра (a) выражается как:

[ V = a^3 ]

Подставим найденное значение (a):

[ V = 2^3 = 8 ]

Таким образом, объем куба равен 8.

Объем куба равен кубу длины его ребра. Так как диагональ грани равна корень из 8, то длина ребра равна корень из 8 / корень из 2 = корень из 4 = 2. Следовательно, объем куба равен 2 2 2 = 8.