Даны уравнения двух прямых: -2x-7y+1=0 и 3x+4y+5=0

Чтобы разобраться с данными уравнениями прямых, начнем с их анализа и определим несколько ключевых характеристик: угловые коэффициенты, взаимное расположение и точку пересечения (если таковая имеется).

1. Приведение уравнений к общему виду и определение угловых коэффициентов

Уравнение прямой обычно записывается в виде (Ax + By + C = 0). Обе данные прямые уже представлены в этом виде:

1. Прямая 1: (-2x - 7y + 1 = 0)
2. Прямая 2: (3x + 4y + 5 = 0)

Для нахождения углового коэффициента прямой, необходимо привести уравнение к виду (y = kx + b), где (k) — угловой коэффициент.

Прямая 1:

[ -7y = 2x - 1 \ y = -\frac{2}{7}x + \frac{1}{7} ] Угловой коэффициент (k_1 = -\frac{2}{7}).

Прямая 2:

[ 4y = -3x - 5 \ y = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{4} ] Угловой коэффициент (k_2 = -\frac{3}{4}).

2. Определение взаимного расположения прямых

Прямые могут быть параллельными, совпадать или пересекаться. Это зависит от их угловых коэффициентов:

• Если (k_1 = k_2), прямые параллельны или совпадают.
• Если (k_1 \neq k_2), прямые пересекаются.

В нашем случае (k_1 = -\frac{2}{7}) и (k_2 = -\frac{3}{4}). Поскольку (k_1 \neq k_2), прямые пересекаются.

3. Нахождение точки пересечения

Чтобы найти точку пересечения, решим систему уравнений:

[ \begin{cases} -2x - 7y + 1 = 0 \ 3x + 4y + 5 = 0 \end{cases} ]

Умножим первое уравнение на 4, а второе на 7, чтобы исключить (y):

[ \begin{cases} -8x - 28y + 4 = 0 \ 21x + 28y + 35 = 0 \end{cases} ]

Сложим уравнения:

[ 13x + 39 = 0 \ 13x = -39 \ x = -3 ]

Подставим (x = -3) в одно из исходных уравнений, например, в первое:

[ -2(-3) - 7y + 1 = 0 \ 6 - 7y + 1 = 0 \ 7 = 7y \ y = 1 ]

Таким образом, точка пересечения прямых: ((-3, 1)).

Вывод

Данные прямые пересекаются в точке ((-3, 1)). Угловые коэффициенты показывают, что они не параллельны и не совпадают.

Для того чтобы найти точку пересечения двух прямых, заданных уравнениями, можно воспользоваться методом подстановки или методом равенства значений функций в точке пересечения.

1. Метод подстановки: Для этого нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых. В данном случае система будет выглядеть следующим образом: -2x - 7y + 1 = 0 3x + 4y + 5 = 0

Решим эту систему уравнений. Для этого выразим одну из переменных через другую из одного из уравнений и подставим полученное выражение во второе уравнение. Например, выразим x из первого уравнения: -2x = 7y - 1 x = (7y - 1) / (-2)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: 3((7y - 1) / (-2)) + 4y + 5 = 0

Решив это уравнение, получим значение y. Подставив найденное y в первое уравнение, найдем значение x. Таким образом, найдем точку пересечения двух прямых.

1. Метод равенства значений функций в точке пересечения: Для этого можно приравнять уравнения прямых друг к другу и решить полученное уравнение относительно x или y. Полученное значение подставить обратно в одно из уравнений, чтобы найти вторную переменную. Таким образом, также найдем точку пересечения двух прямых.

Оба метода позволяют найти точку пересечения прямых, заданных уравнениями.