Даны уравнения двух прямых: -2x-7y+1=0 и 3x+4y+5=0

Тематика Геометрия
Уровень 5 - 9 классы
уравнения прямых аналитическая геометрия системы уравнений пересечение прямых коэффициенты уравнений линии на плоскости
0

Даны уравнения двух прямых: -2x-7y+1=0 и 3x+4y+5=0

avatar
задан 10 дней назад

2 Ответа

0

Чтобы разобраться с данными уравнениями прямых, начнем с их анализа и определим несколько ключевых характеристик: угловые коэффициенты, взаимное расположение и точку пересечения (если таковая имеется).

1. Приведение уравнений к общему виду и определение угловых коэффициентов

Уравнение прямой обычно записывается в виде (Ax + By + C = 0). Обе данные прямые уже представлены в этом виде:

  1. Прямая 1: (-2x - 7y + 1 = 0)
  2. Прямая 2: (3x + 4y + 5 = 0)

Для нахождения углового коэффициента прямой, необходимо привести уравнение к виду (y = kx + b), где (k) — угловой коэффициент.

Прямая 1:

[ -7y = 2x - 1 \ y = -\frac{2}{7}x + \frac{1}{7} ] Угловой коэффициент (k_1 = -\frac{2}{7}).

Прямая 2:

[ 4y = -3x - 5 \ y = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{4} ] Угловой коэффициент (k_2 = -\frac{3}{4}).

2. Определение взаимного расположения прямых

Прямые могут быть параллельными, совпадать или пересекаться. Это зависит от их угловых коэффициентов:

  • Если (k_1 = k_2), прямые параллельны или совпадают.
  • Если (k_1 \neq k_2), прямые пересекаются.

В нашем случае (k_1 = -\frac{2}{7}) и (k_2 = -\frac{3}{4}). Поскольку (k_1 \neq k_2), прямые пересекаются.

3. Нахождение точки пересечения

Чтобы найти точку пересечения, решим систему уравнений:

[ \begin{cases} -2x - 7y + 1 = 0 \ 3x + 4y + 5 = 0 \end{cases} ]

Умножим первое уравнение на 4, а второе на 7, чтобы исключить (y):

[ \begin{cases} -8x - 28y + 4 = 0 \ 21x + 28y + 35 = 0 \end{cases} ]

Сложим уравнения:

[ 13x + 39 = 0 \ 13x = -39 \ x = -3 ]

Подставим (x = -3) в одно из исходных уравнений, например, в первое:

[ -2(-3) - 7y + 1 = 0 \ 6 - 7y + 1 = 0 \ 7 = 7y \ y = 1 ]

Таким образом, точка пересечения прямых: ((-3, 1)).

Вывод

Данные прямые пересекаются в точке ((-3, 1)). Угловые коэффициенты показывают, что они не параллельны и не совпадают.

avatar
ответил 10 дней назад
0

Для того чтобы найти точку пересечения двух прямых, заданных уравнениями, можно воспользоваться методом подстановки или методом равенства значений функций в точке пересечения.

  1. Метод подстановки: Для этого нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых. В данном случае система будет выглядеть следующим образом: -2x - 7y + 1 = 0 3x + 4y + 5 = 0

Решим эту систему уравнений. Для этого выразим одну из переменных через другую из одного из уравнений и подставим полученное выражение во второе уравнение. Например, выразим x из первого уравнения: -2x = 7y - 1 x = (7y - 1) / (-2)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: 3((7y - 1) / (-2)) + 4y + 5 = 0

Решив это уравнение, получим значение y. Подставив найденное y в первое уравнение, найдем значение x. Таким образом, найдем точку пересечения двух прямых.

  1. Метод равенства значений функций в точке пересечения: Для этого можно приравнять уравнения прямых друг к другу и решить полученное уравнение относительно x или y. Полученное значение подставить обратно в одно из уравнений, чтобы найти вторную переменную. Таким образом, также найдем точку пересечения двух прямых.

Оба метода позволяют найти точку пересечения прямых, заданных уравнениями.

avatar
ответил 10 дней назад

Ваш ответ

Вопросы по теме