Чтобы разобраться с данными уравнениями прямых, начнем с их анализа и определим несколько ключевых характеристик: угловые коэффициенты, взаимное расположение и точку пересечения (если таковая имеется).
1. Приведение уравнений к общему виду и определение угловых коэффициентов
Уравнение прямой обычно записывается в виде (Ax + By + C = 0). Обе данные прямые уже представлены в этом виде:
- Прямая 1: (-2x - 7y + 1 = 0)
- Прямая 2: (3x + 4y + 5 = 0)
Для нахождения углового коэффициента прямой, необходимо привести уравнение к виду (y = kx + b), где (k) — угловой коэффициент.
Прямая 1:
[
-7y = 2x - 1 \
y = -\frac{2}{7}x + \frac{1}{7}
]
Угловой коэффициент (k_1 = -\frac{2}{7}).
Прямая 2:
[
4y = -3x - 5 \
y = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
]
Угловой коэффициент (k_2 = -\frac{3}{4}).
2. Определение взаимного расположения прямых
Прямые могут быть параллельными, совпадать или пересекаться. Это зависит от их угловых коэффициентов:
- Если (k_1 = k_2), прямые параллельны или совпадают.
- Если (k_1 \neq k_2), прямые пересекаются.
В нашем случае (k_1 = -\frac{2}{7}) и (k_2 = -\frac{3}{4}). Поскольку (k_1 \neq k_2), прямые пересекаются.
3. Нахождение точки пересечения
Чтобы найти точку пересечения, решим систему уравнений:
[
\begin{cases}
-2x - 7y + 1 = 0 \
3x + 4y + 5 = 0
\end{cases}
]
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 7, чтобы исключить (y):
[
\begin{cases}
-8x - 28y + 4 = 0 \
21x + 28y + 35 = 0
\end{cases}
]
Сложим уравнения:
[
13x + 39 = 0 \
13x = -39 \
x = -3
]
Подставим (x = -3) в одно из исходных уравнений, например, в первое:
[
-2(-3) - 7y + 1 = 0 \
6 - 7y + 1 = 0 \
7 = 7y \
y = 1
]
Таким образом, точка пересечения прямых: ((-3, 1)).
Вывод
Данные прямые пересекаются в точке ((-3, 1)). Угловые коэффициенты показывают, что они не параллельны и не совпадают.