Даны точки A(4;8) B(2;-2) а)Найдите координаты середины отрезка Ab б)Найдите длину отрезка AB в)определите...

а) Середина отрезка AB имеет координаты (3;3) б) Длина отрезка AB равна 10 в) Точка A принадлежит прямой x-y+4=0

Решение

а) Нахождение координат середины отрезка AB

Координаты середины отрезка, соединяющего точки ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ), находятся по формулам: [ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} ] [ y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} ]

Подставляя координаты точек ( A(4, 8) ) и ( B(2, -2) ): [ x_m = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 ] [ y_m = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 ]

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны ( (3, 3) ).

б) Нахождение длины отрезка AB

Длина отрезка между точками ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ) находится по формуле: [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Подставляя координаты: [ AB = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26} ]

Длина отрезка AB равна ( 2\sqrt{26} ) единиц.

в) Проверка принадлежности точек прямой ( x - y + 4 = 0 )

Подставим координаты точек в уравнение прямой:

• Для точки ( A(4, 8) ): [ 4 - 8 + 4 = 0 ] [ 0 = 0 ]

  Точка ( A ) принадлежит прямой.

• Для точки ( B(2, -2) ): [ 2 + 2 + 4 = 0 ] [ 8 ≠ 0 ]

  Точка ( B ) не принадлежит прямой.

Ответ

а) Координаты середины отрезка AB равны ( (3, 3) ).

б) Длина отрезка AB равна ( 2\sqrt{26} ) единиц.

в) Точка ( A(4, 8) ) принадлежит прямой ( x - y + 4 = 0 ), а точка ( B(2, -2) ) — нет.

а) Для нахождения координат середины отрезка AB нужно найти средние значения координат x и y точек A и B. Середина отрезка AB имеет координаты (x, y), где x = (x_A + x_B) / 2, y = (y_A + y_B) / 2. Подставляя данные точки A(4;8) и B(2;-2), получаем x = (4 + 2) / 2 = 3, y = (8 - 2) / 2 = 3. Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (3;3).

б) Для нахождения длины отрезка AB используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: d = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)²). Подставляя данные точки A(4;8) и B(2;-2), получаем d = √((2 - 4)² + (-2 - 8)²) = √((-2)² + (-10)²) = √(4 + 100) = √104 ≈ 10.20. Таким образом, длина отрезка AB составляет около 10.20.

в) Чтобы определить, какая из данных точек принадлежит прямой x-y+4=0, подставим координаты точек в уравнение прямой. Для точки A(4;8): 4 - 8 + 4 = 0, 0 = 0, что верно, значит точка A лежит на прямой. Для точки B(2;-2): 2 - (-2) + 4 = 0, 2 + 2 + 4 = 8, что не верно, значит точка B не лежит на прямой. Таким образом, точка A(4;8) принадлежит прямой x-y+4=0.