Даны точки А(4 -3 5) В(6 -7 5) С(5 2 1 ) Д(3 6 1) Докажите что АВСД параллелограм

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

1. Покажем, что векторы AB и CD параллельны. Вектор AB можно выразить как (6-4, -7+3, 5-5) = (2, -4, 0), а вектор CD как (3-5, 6-2, 1-1) = (-2, 4, 0). Заметим, что векторы параллельны, так как их координаты пропорциональны, а именно (-2/2 = -1, 4/-4 = -1, 0/0 = 0).

2. Покажем, что векторы BC и AD параллельны. Вектор BC можно выразить как (5-6, 2-(-7), 1-5) = (-1, 9, -4), а вектор AD как (4-3, -3-6, 5-1) = (1, -9, 4). Заметим, что векторы также параллельны, так как их координаты пропорциональны.

3. Также необходимо показать, что векторы AB и CD, а также BC и AD равны по длине. Для этого можно вычислить длины этих векторов и убедиться, что они равны.

Таким образом, если векторы противоположных сторон параллельны и равны по длине, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что фигура ABCD - параллелограмм, нужно показать, что векторы AB и DC, а также векторы AD и BC равны.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что либо противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны, либо что диагонали точек пересекаются и делятся пополам.

Рассмотрим векторное представление сторон и диагоналей четырехугольника ABCD.

1. Вычислим векторы сторон:

   Вектор AB: [ \overrightarrow{AB} = B - A = (6 - 4, -7 + 3, 5 - 5) = (2, -4, 0) ]

   Вектор BC: [ \overrightarrow{BC} = C - B = (5 - 6, 2 + 7, 1 - 5) = (-1, 9, -4) ]

   Вектор CD: [ \overrightarrow{CD} = D - C = (3 - 5, 6 - 2, 1 - 1) = (-2, 4, 0) ]

   Вектор DA: [ \overrightarrow{DA} = A - D = (4 - 3, -3 - 6, 5 - 1) = (1, -9, 4) ]

2. Проверим равенство и параллельность противоположных сторон:

   Если ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны должны быть равны и параллельны:

   Сравниваем векторы AB и CD: [ \overrightarrow{AB} = (2, -4, 0) ] [ \overrightarrow{CD} = (-2, 4, 0) ]

   Вектор CD равен вектору -AB (то есть противоположен по направлению и равен по длине). Это указывает на то, что эти векторы параллельны и равны по модулю.

   Сравниваем векторы BC и DA: [ \overrightarrow{BC} = (-1, 9, -4) ] [ \overrightarrow{DA} = (1, -9, 4) ]

   Вектор DA равен вектору -BC (то есть противоположен по направлению и равен по длине). Это указывает на то, что эти векторы параллельны и равны по модулю.

3. Проверим, пересекаются ли диагонали и делятся ли они пополам:

   Вычислим векторы диагоналей AC и BD: [ \overrightarrow{AC} = C - A = (5 - 4, 2 + 3, 1 - 5) = (1, 5, -4) ] [ \overrightarrow{BD} = D - B = (3 - 6, 6 + 7, 1 - 5) = (-3, 13, -4) ]

   Найдем середины диагоналей: Координаты середины AC: [ M_1 \left( \frac{4+5}{2}, \frac{-3+2}{2}, \frac{5+1}{2} \right) = \left( 4.5, -0.5, 3 \right) ]

   Координаты середины BD: [ M_2 \left( \frac{6+3}{2}, \frac{-7+6}{2}, \frac{5+1}{2} \right) = \left( 4.5, -0.5, 3 \right) ]

4. Вывод:

   Поскольку середины диагоналей совпадают, значит диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам. Это свидетельствует о том, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.