Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что либо противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны, либо что диагонали точек пересекаются и делятся пополам.
Рассмотрим векторное представление сторон и диагоналей четырехугольника ABCD.
Вычислим векторы сторон:
Вектор AB:
Вектор BC:
Вектор CD:
Вектор DA:
Проверим равенство и параллельность противоположных сторон:
Если ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны должны быть равны и параллельны:
Сравниваем векторы AB и CD:
Вектор CD равен вектору -AB . Это указывает на то, что эти векторы параллельны и равны по модулю.
Сравниваем векторы BC и DA:
Вектор DA равен вектору -BC . Это указывает на то, что эти векторы параллельны и равны по модулю.
Проверим, пересекаются ли диагонали и делятся ли они пополам:
Вычислим векторы диагоналей AC и BD:
Найдем середины диагоналей:
Координаты середины AC:
Координаты середины BD:
Вывод:
Поскольку середины диагоналей совпадают, значит диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам. Это свидетельствует о том, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.