Даны точки А$4-35$ В$6-75$ С$521$ Д$361$ Докажите что АВСД параллелограм

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

1. Покажем, что векторы AB и CD параллельны. Вектор AB можно выразить как $6-4,-7+3,5-5$ = $2,-4,0$, а вектор CD как $3-5,6-2,1-1$ = $-2,4,0$. Заметим, что векторы параллельны, так как их координаты пропорциональны, а именно $-2/2=-1,4/-4=-1,0/0=0$.

2. Покажем, что векторы BC и AD параллельны. Вектор BC можно выразить как $5-6,2-(-7$, 1-5) = $-1,9,-4$, а вектор AD как $4-3,-3-6,5-1$ = $1,-9,4$. Заметим, что векторы также параллельны, так как их координаты пропорциональны.

3. Также необходимо показать, что векторы AB и CD, а также BC и AD равны по длине. Для этого можно вычислить длины этих векторов и убедиться, что они равны.

Таким образом, если векторы противоположных сторон параллельны и равны по длине, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что фигура ABCD - параллелограмм, нужно показать, что векторы AB и DC, а также векторы AD и BC равны.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно показать, что либо противоположные стороны этого четырехугольника равны и параллельны, либо что диагонали точек пересекаются и делятся пополам.

Рассмотрим векторное представление сторон и диагоналей четырехугольника ABCD.

1. Вычислим векторы сторон:

   Вектор AB: $\overrightarrow{AB}=B-A=(6-4,-7+3,5-5)=(2,-4,0)$

   Вектор BC: $\overrightarrow{BC}=C-B=(5-6,2+7,1-5)=(-1,9,-4)$

   Вектор CD: $\overrightarrow{CD}=D-C=(3-5,6-2,1-1)=(-2,4,0)$

   Вектор DA: $\overrightarrow{DA}=A-D=(4-3,-3-6,5-1)=(1,-9,4)$

2. Проверим равенство и параллельность противоположных сторон:

   Если ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны должны быть равны и параллельны:

   Сравниваем векторы AB и CD: $\overrightarrow{AB}=(2,-4,0)$ $\overrightarrow{CD}=(-2,4,0)$

   Вектор CD равен вектору -AB $тоестьпротивоположенпонаправлениюиравенподлине$. Это указывает на то, что эти векторы параллельны и равны по модулю.

   Сравниваем векторы BC и DA: $\overrightarrow{BC}=(-1,9,-4)$ $\overrightarrow{DA}=(1,-9,4)$

   Вектор DA равен вектору -BC $тоестьпротивоположенпонаправлениюиравенподлине$. Это указывает на то, что эти векторы параллельны и равны по модулю.

3. Проверим, пересекаются ли диагонали и делятся ли они пополам:

   Вычислим векторы диагоналей AC и BD: $\overrightarrow{AC}=C-A=(5-4,2+3,1-5)=(1,5,-4)$ $\overrightarrow{BD}=D-B=(3-6,6+7,1-5)=(-3,13,-4)$

   Найдем середины диагоналей: Координаты середины AC: $M_1(\frac{4+5}{2},\frac{-3+2}{2},\frac{5+1}{2})=(4.5,-0.5,3)$

   Координаты середины BD: $M_2(\frac{6+3}{2},\frac{-7+6}{2},\frac{5+1}{2})=(4.5,-0.5,3)$

4. Вывод:

   Поскольку середины диагоналей совпадают, значит диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам. Это свидетельствует о том, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.