Даны точки A(3;-2;5) и B(-1;4;3) а)Найдите координаты точки С- середины отрезка АВ. б) Найдите координаты...

Рассмотрим задачи по геометрии, связанные с точками A(3; -2; 5) и B(-1; 4; 3).

а) Найдите координаты точки С — середины отрезка АВ.

Для нахождения координат середины отрезка AB, нужно использовать формулу для середины отрезка в трёхмерном пространстве. Если имеются две точки (A(x_1, y_1, z_1)) и (B(x_2, y_2, z_2)), то координаты середины отрезка (C(x_c, y_c, z_c)) вычисляются следующим образом:

[ x_c = \frac{x_1 + x_2}{2} ] [ y_c = \frac{y_1 + y_2}{2} ] [ z_c = \frac{z_1 + z_2}{2} ]

Подставим координаты точек A и B:

[ x_c = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] [ y_c = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 ] [ z_c = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 ]

Таким образом, координаты точки C — середины отрезка AB: ( C(1, 1, 4) ).

б) Найдите координаты точки D, если отрезок AD делится точками B и C на три равные части.

Если отрезок AD делится точками B и C на три равные части, то это значит, что точки B и C делят отрезок AD на три отрезка одинаковой длины. Тогда координаты точки D можно найти, зная, что точки B и C делят отрезок AD в отношении 1:2 и 2:1 соответственно.

Пусть (A(x_1, y_1, z_1) = A(3, -2, 5)) и (D(x_2, y_2, z_2)). Координаты точки B делят отрезок AD в отношении 1:2, а координаты точки C делят отрезок AD в отношении 2:1. Найдём координаты точки D.

Для нахождения координат точки D воспользуемся формулами для деления отрезка в данном отношении:

[ x_b = \frac{x_1 + 2x_2}{3} ] [ y_b = \frac{y_1 + 2y_2}{3} ] [ z_b = \frac{z_1 + 2z_2}{3} ]

[ x_c = \frac{2x_1 + x_2}{3} ] [ y_c = \frac{2y_1 + x_2}{3} ] [ z_c = \frac{2z_1 + x_2}{3} ]

Подставим координаты точек A, B и C:

Для точки B: [ -1 = \frac{3 + 2x_2}{3} ] [ 4 = \frac{-2 + 2y_2}{3} ] [ 3 = \frac{5 + 2z_2}{3} ]

Для точки C: [ 1 = \frac{2 \cdot 3 + x_2}{3} ] [ 1 = \frac{2 \cdot (-2) + y_2}{3} ] [ 4 = \frac{2 \cdot 5 + z_2}{3} ]

Решим систему уравнений для нахождения координат (x_2, y_2, z_2) (координат точки D):

1. [ -1 = \frac{3 + 2x_2}{3} ] [ -3 = 3 + 2x_2 ] [ 2x_2 = -6 ] [ x_2 = -3 ]

2. [ 4 = \frac{-2 + 2y_2}{3} ] [ 12 = -2 + 2y_2 ] [ 2y_2 = 14 ] [ y_2 = 7 ]

3. [ 3 = \frac{5 + 2z_2}{3} ] [ 9 = 5 + 2z_2 ] [ 2z_2 = 4 ] [ z_2 = 2 ]

Таким образом, координаты точки D: ( D(-3, 7, 2) ).

в) Сравните расстояния от точки B до оси абсцисс и от точки A до плоскости Oxy.

Расстояние от точки B до оси абсцисс (оси (Ox)).

Ось абсцисс — это линия, где (y = 0) и (z = 0). Расстояние от точки до оси абсцисс можно найти, используя формулу расстояния в пространстве до линии, где (x) фиксирован, а остальные координаты равны нулю:

[ d_B = \sqrt{y_B^2 + z_B^2} ]

Для точки B(-1, 4, 3):

[ d_B = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 ]

Расстояние от точки A до плоскости (Oxy).

Плоскость (Oxy) — это плоскость, где (z = 0). Расстояние от точки до плоскости (Oxy) определяется просто модулем (z)-координаты:

[ d_A = |z_A| ]

Для точки A(3, -2, 5):

[ d_A = |5| = 5 ]

Таким образом, расстояния от точки B до оси абсцисс и от точки A до плоскости (Oxy) одинаковы и равны 5.

а) Чтобы найти координаты точки C, нужно найти среднее арифметическое координат точек A и B: Cx = (3 + (-1)) / 2 = 2/2 = 1 Cy = (-2 + 4) / 2 = 2/2 = 1 Cz = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4 Таким образом, координаты точки C(1;1;4).

б) Для нахождения координат точки D, нужно поделить отрезок AD на три равные части. Так как точка B делит отрезок AD на две равные части, то координаты точки D будут равны среднему арифметическому координат точек A и B: Dx = (3 + (-1)) / 2 = 2/2 = 1 Dy = (-2 + 4) / 2 = 2/2 = 1 Dz = (5 + 3) / 2 = 8/2 = 4 Таким образом, координаты точки D(1;1;4).

в) Расстояние от точки B до оси абсцисс равно модулю координаты y точки B, то есть |4| = 4. Расстояние от точки A до плоскости Oxy равно модулю координаты z точки A, то есть |5| = 5. Таким образом, расстояние от точки B до оси абсцисс равно 4, а от точки A до плоскости Oxy равно 5.