Даны точки A(2;5;8) и B(6;1;0), найдите а) на оси ординат точку C, равноудаленную от точки A и B. Найдите...

Для решения задачи рассмотрим каждый шаг последовательно.

Шаг 1: Найти точку ( C ) на оси ординат, равноудаленную от точек ( A ) и ( B ).

Пусть ( C ) имеет координаты ( (0; y; 0) ), так как она лежит на оси ординат (оси ( y )).

Найдем расстояние от точки ( A(2; 5; 8) ) до точки ( C(0; y; 0) ):

[ AC = \sqrt{(2-0)^2 + (5-y)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{4 + (5-y)^2 + 64} = \sqrt{68 + (5-y)^2} ]

Теперь найдем расстояние от точки ( B(6; 1; 0) ) до точки ( C(0; y; 0) ):

[ BC = \sqrt{(6-0)^2 + (1-y)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{36 + (1-y)^2} ]

Так как точка ( C ) равноудалена от точек ( A ) и ( B ), то ( AC = BC ):

[ \sqrt{68 + (5-y)^2} = \sqrt{36 + (1-y)^2} ]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

[ 68 + (5-y)^2 = 36 + (1-y)^2 ]

Раскроем скобки:

[ 68 + 25 - 10y + y^2 = 36 + 1 - 2y + y^2 ]

Упростим уравнение:

[ 93 - 10y = 37 - 2y ]

Перенесем все ( y )-содержащие члены в одну сторону, а свободные в другую:

[ 93 - 37 = 10y - 2y ]

[ 56 = 8y ]

Разделим обе части на 8:

[ y = 7 ]

Таким образом, точка ( C ) имеет координаты ( (0; 7; 0) ).

Шаг 2: Найти площадь треугольника ( ABC ).

Для нахождения площади треугольника в трёхмерном пространстве воспользуемся векторным методом.

Векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ) вычисляются следующим образом:

[ \overrightarrow{AB} = B - A = (6 - 2, 1 - 5, 0 - 8) = (4, -4, -8) ]

[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 2, 7 - 5, 0 - 8) = (-2, 2, -8) ]

Теперь найдем векторное произведение ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ):

[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 4 & -4 & -8 \ -2 & 2 & -8 \end{vmatrix} ]

[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} \left( (-4)(-8) - (-8)(2) \right) - \mathbf{j} \left( 4(-8) - (-8)(-2) \right) + \mathbf{k} \left( 4(2) - (-4)(-2) \right) ]

[ = \mathbf{i} (32 - (-16)) - \mathbf{j} (-32 - 16) + \mathbf{k} (8 - 8) ]

[ = \mathbf{i} (48) - \mathbf{j} (-48) + \mathbf{k} (0) ]

[ = 48 \mathbf{i} + 48 \mathbf{j} ]

Теперь найдем модуль этого вектора:

[ | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \sqrt{48^2 + 48^2 + 0^2} = \sqrt{2304 + 2304} = \sqrt{4608} = 48\sqrt{2} ]

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения:

[ \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \frac{1}{2} \times 48\sqrt{2} = 24\sqrt{2} ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ) равна ( 24\sqrt{2} ).

Для нахождения точки C, равноудаленной от точек A и B на оси ординат, необходимо взять среднее арифметическое значений y-координат точек A и B.

Сначала находим среднее значение y: y_C = (y_A + y_B) / 2 = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3

Итак, координаты точки C будут (2;3;8).

Для нахождения площади треугольника ABC, можно воспользоваться формулой площади треугольника по трём сторонам (формула Герона). Однако, у нас даны только координаты вершин треугольника, поэтому воспользуемся векторным методом.

Для начала найдем векторы AB, AC и BC: AB = B - A = (6 - 2; 1 - 5; 0 - 8) = (4; -4; -8) AC = C - A = (2 - 2; 3 - 5; 8 - 8) = (0; -2; 0) BC = C - B = (2 - 6; 3 - 1; 8 - 0) = (-4; 2; 8)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC: n = AB x AC = (4; -4; -8) x (0; -2; 0) = (32; 0; -8)

Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения n: S = 0.5 |n| = 0.5 √(32^2 + 0^2 + (-8)^2) = 0.5 √(1024 + 64) = 0.5 √1088 = 0.5 * 32√17 = 16√17

Итак, площадь треугольника ABC равна 16√17.