Даны точки А(0;4;0), В(2;0;0), С(4;0;4),D(2;4;4). Докажите, что АВСD – ромб.

Ромб – это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой.

Вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA:

AB = √((2-0)^2 + (0-4)^2 + (0-0)^2) = √(4 + 16) = √20

BC = √((4-2)^2 + (0-0)^2 + (4-0)^2) = √(4 + 16) = √20

CD = √((2-4)^2 + (4-0)^2 + (4-0)^2) = √(4 + 16) = √20

DA = √((0-2)^2 + (4-0)^2 + (0-4)^2) = √(4 + 16) = √20

Таким образом, длины всех сторон равны между собой, а значит, четырехугольник ABCD является ромбом.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны.

1. Найдем длины отрезков AB, BC, CD и DA, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула расстояния между точками ( P_1(x_1, y_1, z_1) ) и ( P_2(x_2, y_2, z_2) ) выглядит следующим образом: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]

2. Рассчитаем AB: [ AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4 + 16 + 0} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

3. Рассчитаем BC: [ BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

4. Рассчитаем CD: [ CD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (4 - 0)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 0} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

5. Рассчитаем DA: [ DA = \sqrt{(0 - 2)^2 + (4 - 4)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4 + 0 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Из вычислений видно, что все четыре стороны равны (2\sqrt{5}). Это означает, что ABCD - ромб, так как все стороны ромба равны.