Даны точки А(0;1), В(2;5),С(4;1) и D(2;-3) докажите что ABCD- параллелограмм ABCD- ромб
Даны точки А(0;1), В(2;5),С(4;1) и D(2;-3) докажите что ABCD- параллелограмм ABCD- ромб
Для того чтобы доказать, что четырехугольник (ABCD) является параллелограммом и ромбом, необходимо проверить несколько условий.
Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы его противоположные стороны были параллельны и равны по длине.
Найдем координаты векторов (\overrightarrow{AB}), (\overrightarrow{BC}), (\overrightarrow{CD}) и (\overrightarrow{DA}):
[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 5 - 1) = (2, 4) ]
[ \overrightarrow{BC} = C - B = (4 - 2, 1 - 5) = (2, -4) ]
[ \overrightarrow{CD} = D - C = (2 - 4, -3 - 1) = (-2, -4) ]
[ \overrightarrow{DA} = A - D = (0 - 2, 1 + 3) = (-2, 4) ]
Проверим параллельность и равенство противоположных сторон:
[ \overrightarrow{AB} = (2, 4) \quad \text{и} \quad \overrightarrow{CD} = (-2, -4) ] Эти векторы антипараллельны, следовательно, стороны (AB) и (CD) параллельны и равны по длине, так как: [ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} ] [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} ]
[ \overrightarrow{BC} = (2, -4) \quad \text{и} \quad \overrightarrow{DA} = (-2, 4) ] Эти векторы также антипараллельны, следовательно, стороны (BC) и (DA) параллельны и равны по длине, так как: [ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} ] [ |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} ]
Поскольку противоположные стороны равны и параллельны, четырехугольник (ABCD) является параллелограммом.
Для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо, чтобы все его стороны были равны.
Мы уже нашли длины сторон:
[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{20} ]
Так как все четыре стороны равны, параллелограмм (ABCD) является ромбом.
Таким образом, (ABCD) — это параллелограмм и одновременно ромб.
Для доказательства, что ABCD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны. Для этого можно вычислить угловые коэффициенты отрезков AB и CD, а также угловые коэффициенты отрезков BC и AD. Если они равны, то стороны параллельны.
Для доказательства, что ABCD - ромб, нужно показать, что все стороны равны между собой. Для этого можно вычислить длины сторон AB, BC, CD и DA, и если они будут равны, то фигура является ромбом.
Для того чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, достаточно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны.
Вектор AB = (2-0; 5-1) = (2; 4) Вектор DC = (2-4; -3-1) = (-2; -4)
Вектор BC = (4-2; 1-5) = (2; -4) Вектор AD = (0-2; 1+3) = (-2; 4)
Учитывая, что AB = -DC и BC = -AD, мы видим, что AB || DC и BC || AD, следовательно, ABCD - параллелограмм.
Теперь для доказательства, что ABCD - ромб, необходимо показать, что все стороны этого четырехугольника равны между собой.
Длина стороны AB: √((2-0)^2 + (5-1)^2) = √(4 + 16) = √20 Длина стороны BC: √((4-2)^2 + (1-5)^2) = √(4 + 16) = √20 Длина стороны CD: √((2-4)^2 + (-3-1)^2) = √(4 + 16) = √20 Длина стороны AD: √((0-2)^2 + (1+3)^2) = √(4 + 16) = √20
Таким образом, все стороны ABCD равны между собой, а значит, данный четырехугольник является ромбом.
