Даны точки А(-3;2;4) и В (5;0;-2) найдите координаты точек С и Д, если точки А и В делят отрезок СД в отношении 1:2:1
Даны точки А(-3;2;4) и В (5;0;-2) найдите координаты точек С и Д, если точки А и В делят отрезок СД в отношении 1:2:1
Для нахождения координат точек С и D, нужно вычислить координаты точки, которая делит отрезок AB в отношении 1:2. Для этого найдем координаты точки M, которая делит отрезок AB в соотношении 1:2.
Координаты точки M можно найти по формуле: Mx = (Ax + 2Bx) / 3 My = (Ay + 2By) / 3 Mz = (Az + 2Bz) / 3
Подставим координаты точек A(-3;2;4) и B(5;0;-2) в формулу: Mx = (-3 + 25) / 3 = 7/3 My = (2 + 20) / 3 = 2/3 Mz = (4 + 2*(-2)) / 3 = 0
Таким образом, координаты точки M равны (7/3; 2/3; 0).
Теперь найдем координаты точек С и D, которые делят отрезок BM в отношении 1:1.
Координаты точки С можно найти по формуле: Сx = (Bx + Mx) / 2 Сy = (By + My) / 2 Cz = (Bz + Mz) / 2
Подставим координаты точек B(5;0;-2) и M(7/3; 2/3; 0) в формулу: Сx = (5 + 7/3) / 2 = 29/6 Сy = (0 + 2/3) / 2 = 1/3 Cz = (-2 + 0) / 2 = -1
Таким образом, координаты точки C равны (29/6; 1/3; -1).
Координаты точки D можно найти аналогично: Dx = (Bx + Mx) / 2 Dy = (By + My) / 2 Dz = (Bz + Mz) / 2
Подставим координаты точек B(5;0;-2) и M(7/3; 2/3; 0) в формулу: Dx = (5 + 7/3) / 2 = 29/6 Dy = (0 + 2/3) / 2 = 1/3 Dz = (-2 + 0) / 2 = -1
Таким образом, координаты точки D равны (29/6; 1/3; -1).
Для решения задачи необходимо понять, как точки А и В делят отрезок СD в отношении 1:2:1. Это значит, что точка А делит отрезок СD в отношении 1:3, а точка В делит отрезок СD в отношении 3:1.
Пусть координаты точки С будут (x₁, y₁, z₁), а координаты точки D — (x₂, y₂, z₂).
Точка А делит отрезок СD в отношении 1:3, то есть:
[ x_A = \frac{x_1 + 3x_2}{4}, \quad y_A = \frac{y_1 + 3y_2}{4}, \quad z_A = \frac{z_1 + 3z_2}{4} ]
Подставим координаты точки А(-3, 2, 4):
[ -3 = \frac{x_1 + 3x_2}{4}, \quad 2 = \frac{y_1 + 3y_2}{4}, \quad 4 = \frac{z_1 + 3z_2}{4} ]
Решим эти уравнения:
[ x_1 + 3x_2 = -12, \quad y_1 + 3y_2 = 8, \quad z_1 + 3z_2 = 16 ]
Точка В делит отрезок СD в отношении 3:1, то есть:
[ x_B = \frac{3x_1 + x_2}{4}, \quad y_B = \frac{3y_1 + y_2}{4}, \quad z_B = \frac{3z_1 + z_2}{4} ]
Подставим координаты точки В(5, 0, -2):
[ 5 = \frac{3x_1 + x_2}{4}, \quad 0 = \frac{3y_1 + y_2}{4}, \quad -2 = \frac{3z_1 + z_2}{4} ]
Решим эти уравнения:
[ 3x_1 + x_2 = 20, \quad 3y_1 + y_2 = 0, \quad 3z_1 + z_2 = -8 ]
Теперь у нас есть система из шести уравнений:
Решим эту систему:
Из уравнений (1) и (4):
Умножим (1) на 3:
(3x_1 + 9x_2 = -36)
Теперь вычтем (4):
((3x_1 + 9x_2) - (3x_1 + x_2) = -36 - 20)
(8x_2 = -56)
(x_2 = -7)
Подставим (x_2) в (1):
(x_1 + 3(-7) = -12)
(x_1 - 21 = -12)
(x_1 = 9)
Из уравнений (2) и (5):
Умножим (2) на 3:
(3y_1 + 9y_2 = 24)
Теперь вычтем (5):
((3y_1 + 9y_2) - (3y_1 + y_2) = 24 - 0)
(8y_2 = 24)
(y_2 = 3)
Подставим (y_2) в (2):
(y_1 + 3(3) = 8)
(y_1 + 9 = 8)
(y_1 = -1)
Из уравнений (3) и (6):
Умножим (3) на 3:
(3z_1 + 9z_2 = 48)
Теперь вычтем (6):
((3z_1 + 9z_2) - (3z_1 + z_2) = 48 + 8)
(8z_2 = 56)
(z_2 = 7)
Подставим (z_2) в (3):
(z_1 + 3(7) = 16)
(z_1 + 21 = 16)
(z_1 = -5)
Итак, координаты точки C: ( (9, -1, -5) ), а точки D: ( (-7, 3, 7) ).
