Даны точки А(-1;5;3) В(7;-1;3)С(3;-2;6)Доказать,что треугольник АВС-прямоугольный.

Чтобы доказать, что треугольник ABC является прямоугольным, нам нужно показать, что векторное произведение двух его сторон перпендикулярно третьей стороне, или что квадрат длины одной из сторон треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон (теорема Пифагора).

1. Сначала найдем координаты векторов сторон треугольника: [ \overrightarrow{AB} = B - A = (7 + 1, -1 - 5, 3 - 3) = (8, -6, 0) ] [ \overrightarrow{AC} = C - A = (3 + 1, -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3) ] [ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - 7, -2 + 1, 6 - 3) = (-4, -1, 3) ]

2. Проверим, перпендикулярны ли векторы между собой через их скалярное произведение: [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 8 \times 4 + (-6) \times (-7) + 0 \times 3 = 32 + 42 = 74 ] [ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 8 \times (-4) + (-6) \times (-1) + 0 \times 3 = -32 + 6 = -26 ] [ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 4 \times (-4) + (-7) \times (-1) + 3 \times 3 = -16 + 7 + 9 = 0 ]

   Значение скалярного произведения векторов (\overrightarrow{AC}) и (\overrightarrow{BC}) равно 0, что указывает на их перпендикулярность.

3. Так как (\overrightarrow{AC}) и (\overrightarrow{BC}) перпендикулярны, это означает, что угол ACB является прямым. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC прямоугольный.

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, необходимо проверить, что один из его углов является прямым.

Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если длины сторон треугольника удовлетворяют условию a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза, то треугольник является прямоугольным.

Для треугольника ABC длины сторон можно найти по формуле длины отрезка между двумя точками в трехмерном пространстве: √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2).

Таким образом, необходимо вычислить длины сторон AB, BC и AC и проверить выполнение условия теоремы Пифагора. Если условие выполняется для одной из сторон, то треугольник ABC будет прямоугольным.