Даны точки А(-1;4);В(1;-2);С(0;-4)D(2;2) E и F - середины AB и СD соответственно. 1)найдите острый угол...

1) Острый угол между EF и CD составляет 90 градусов.

2) CDBC = 0, CDBD = 0.

Рассмотрим задачу по геометрии, где даны точки ( A(-1;4) ), ( B(1;-2) ), ( C(0;-4) ), и ( D(2;2) ). Точки ( E ) и ( F ) являются серединами отрезков ( AB ) и ( CD ) соответственно.

1) Найдите острый угол между ( EF ) и ( CD ).

Сначала найдем координаты точек ( E ) и ( F ).

Точка ( E ) — середина отрезка ( AB ): [ E \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = (0, 1) ]

Точка ( F ) — середина отрезка ( CD ): [ F \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{-4 + 2}{2} \right) = (1, -1) ]

Теперь найдем векторы ( \overrightarrow{EF} ) и ( \overrightarrow{CD} ).

Вектор ( \overrightarrow{EF} ): [ \overrightarrow{EF} = F - E = (1 - 0, -1 - 1) = (1, -2) ]

Вектор ( \overrightarrow{CD} ): [ \overrightarrow{CD} = D - C = (2 - 0, 2 - (-4)) = (2, 6) ]

Для нахождения угла между векторами ( \overrightarrow{EF} ) и ( \overrightarrow{CD} ), используем скалярное произведение:

[ \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CD} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 6 = 2 - 12 = -10 ]

Длина вектора ( \overrightarrow{EF} ): [ |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} ]

Длина вектора ( \overrightarrow{CD} ): [ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

Косинус угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{EF}| |\overrightarrow{CD}|} = \frac{-10}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{-10}{2\sqrt{50}} = \frac{-10}{2 \cdot 5 \sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} ]

Так как нам нужен острый угол, возьмем положительное значение: [ \theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{4} = 45^\circ ]

2) Вычислите ( CD \cdot BC ) и ( CD \cdot BD ).

Сначала найдем векторы ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{BD} ).

Вектор ( \overrightarrow{BC} ): [ \overrightarrow{BC} = C - B = (0 - 1, -4 + 2) = (-1, -6) ]

Вектор ( \overrightarrow{BD} ): [ \overrightarrow{BD} = D - B = (2 - 1, 2 + 2) = (1, 4) ]

Теперь найдем скалярное произведение ( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BD} ).

Скалярное произведение ( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} ): [ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot (-1) + 6 \cdot (-6) = -2 - 36 = -38 ]

Скалярное произведение ( \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BD} ): [ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{BD} = 2 \cdot 1 + 6 \cdot 4 = 2 + 24 = 26 ]

Таким образом, мы получили: [ CD \cdot BC = -38 ] [ CD \cdot BD = 26 ]

Итак, для данной задачи:

1. Острый угол между ( EF ) и ( CD ) равен ( 45^\circ ).
2. ( CD \cdot BC = -38 ) и ( CD \cdot BD = 26 ).

1) Для начала найдем координаты точек E и F, которые являются серединами отрезков AB и CD соответственно. Координаты точки E: x = (x1 + x2) / 2 = (-1 + 1) / 2 = 0 y = (y1 + y2) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1 Точка E(0;1)

Координаты точки F: x = (x3 + x4) / 2 = (0 + 2) / 2 = 1 y = (y3 + y4) / 2 = (-4 + 2) / 2 = -1 Точка F(1;-1)

Теперь найдем векторы EF и CD и вычислим их скалярное произведение. Вектор EF: EF = (x_F - x_E, y_F - y_E) = (1 - 0, -1 - 1) = (1, -2)

Вектор CD: CD = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (2 - 0, 2 - (-4)) = (2, 6)

Скалярное произведение векторов EF и CD: EF CD = (1 2) + (-2 * 6) = 2 - 12 = -10

Длины векторов EF и CD: |EF| = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5) |CD| = sqrt(2^2 + 6^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2sqrt(10)

Теперь найдем угол между векторами EF и CD по формуле скалярного произведения: cos(θ) = (EF CD) / (|EF| |CD|) cos(θ) = -10 / (sqrt(5) * 2sqrt(10)) = -10 / (2sqrt(50)) = -5 / sqrt(50) = -5 / (5sqrt(2)) = -1 / sqrt(2)

Учитывая, что угол между векторами является острым, то cos(θ) > 0. Таким образом, угол между EF и CD равен θ = arccos(-1 / sqrt(2)) ≈ 135 градусов.

2) Теперь вычислим произведение CD на BC и CD на BD. CD BC = ((2 - 0) (1 - 0)) + ((2 - (-4)) (2 - 1)) = 2 + 6 = 8 CD BD = ((2 - 0) (2 - 0)) + ((2 - (-4)) (2 - 2)) = 4

Итак, CD BC = 8 и CD BD = 4.