Даны точки А ( -1; 5; 3 ) В (-1; 3;9) С ( 3;-2; 6). Доказать , что треугольник АВС - прямоугольный.

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, необходимо проверить, что квадрат длины одного из его сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Для этого найдем длины сторон треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Длина стороны AB: √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2] AB = √[(-1 + 1)^2 + (3 - 5)^2 + (9 - 3)^2] = √[0^2 + (-2)^2 + 6^2] = √[0 + 4 + 36] = √40

Длина стороны BC: √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2 + (z3 - z2)^2] BC = √[(3 + 1)^2 + (-2 - 3)^2 + (6 - 9)^2] = √[4^2 + (-5)^2 + (-3)^2] = √[16 + 25 + 9] = √50

Длина стороны AC: √[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2] AC = √[(3 + 1)^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2] = √[4^2 + (-7)^2 + 3^2] = √[16 + 49 + 9] = √74

Теперь проверим выполнение теоремы Пифагора для треугольника ABC:

AB^2 + BC^2 = AC^2 40 + 50 = 74 90 ≠ 74

Таким образом, треугольник ABC не является прямоугольным.

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, необходимо показать, что один из углов треугольника равен 90 градусов. Это можно сделать через проверку, что скалярное произведение векторов, образующих стороны этого треугольника, равно нулю. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то угол между ними составляет 90 градусов, то есть векторы перпендикулярны.

Для начала найдём координаты векторов AB, AC и BC:

1. Вектор AB = B - A = (-1 - (-1), 3 - 5, 9 - 3) = (0, -2, 6).
2. Вектор AC = C - A = (3 - (-1), -2 - 5, 6 - 3) = (4, -7, 3).
3. Вектор BC = C - B = (3 - (-1), -2 - 3, 6 - 9) = (4, -5, -3).

Теперь проверим, перпендикулярны ли какие-либо из этих векторов друг другу. Скалярное произведение двух векторов (\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)) и (\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)) вычисляется по формуле: [ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3. ]

Вычислим скалярные произведения:

• ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot 4 + (-2) \cdot (-7) + 6 \cdot 3 = 0 + 14 + 18 = 32 ) (не равно нулю, значит векторы AB и AC не перпендикулярны).
• ( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot 4 + (-2) \cdot (-5) + 6 \cdot (-3) = 0 + 10 - 18 = -8 ) (не равно нулю).
• ( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 + (-7) \cdot (-5) + 3 \cdot (-3) = 16 + 35 - 9 = 42 ) (не равно нулю).

Однако, на первый взгляд кажется, что все скалярные произведения не равны нулю, и нет перпендикулярных сторон. Проверим расчёты скалярных произведений еще раз:

• ( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot 4 + (-2) \cdot (-5) + 6 \cdot (-3) = 0 + 10 - 18 = -8 ) (при повторной проверке ошибки не обнаружено).
• ( \vec{AC} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 4 + (-7) \cdot (-5) + 3 \cdot (-3) = 16 + 35 - 9 = 42 ) (при повторной проверке ошибки не обнаружено).

Как видно, все расчеты верны, и, следовательно, треугольник ABC не является прямоугольным. Возможно, была допущена ошибка при предположении о прямоугольности треугольника или в изначальных данных задачи.