Даны координаты вершин треугольника ABC А(2;1), B(-1;4), С(3;-2). Найти уравнения прямых, проходящих...

Чтобы найти уравнения прямых, проходящих через высоты треугольника ABC, сначала нам нужно определить координаты ортоцентра и основания высот.

Шаг 1: Нахождение уравнений сторон треугольника

1. Сторона AB:

   • Координаты A(2, 1) и B(-1, 4).
   • Уравнение прямой AB: [ y - y_1 = m(x - x_1) ] где ( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 1}{-1 - 2} = \frac{3}{-3} = -1 ).
   • Уравнение будет: [ y - 1 = -1(x - 2) \Rightarrow y = -x + 3. ]

2. Сторона BC:

   • Координаты B(-1, 4) и C(3, -2).
   • Уравнение прямой BC: [ m = \frac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}. ]
   • Уравнение будет: [ y - 4 = -\frac{3}{2}(x + 1) \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}. ]

3. Сторона AC:

   • Координаты A(2, 1) и C(3, -2).
   • Уравнение прямой AC: [ m = \frac{-2 - 1}{3 - 2} = -3. ]
   • Уравнение будет: [ y - 1 = -3(x - 2) \Rightarrow y = -3x + 7. ]

Шаг 2: Нахождение высот

1. Высота AH1:

   • Высота AH1 проведена из вершины A и перпендикулярна стороне BC. Для нахождения уравнения высоты нужно найти наклон BC и взять отрицательную обратную величину.
   • Наклон BC: ( -\frac{3}{2} ), значит наклон высоты AH1: ( \frac{2}{3} ).
   • Уравнение: [ y - 1 = \frac{2}{3}(x - 2) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 1 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}. ]

2. Высота BH2:

   • Высота BH2 проведена из вершины B и перпендикулярна стороне AC. Наклон AC: ( -3 ), значит наклон высоты BH2: ( \frac{1}{3} ).
   • Уравнение: [ y - 4 = \frac{1}{3}(x + 1) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 4 \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}. ]

3. Высота CH3:

   • Высота CH3 проведена из вершины C и перпендикулярна стороне AB. Наклон AB: ( -1 ), значит наклон высоты CH3: ( 1 ).
   • Уравнение: [ y + 2 = 1(x - 3) \Rightarrow y = x - 5. ]

Ответ

Уравнения высот треугольника ABC:

• Высота AH1: ( y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} )
• Высота BH2: ( y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3} )
• Высота CH3: ( y = x - 5 )

Эти уравнения описывают прямые, проходящие через высоты треугольника ABC.

Чтобы найти уравнения прямых, содержащих высоты ( AH_1 ), ( BH_2 ), ( CH_3 ), нужно помнить, что высота треугольника — это отрезок, проведённый из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне. Для этого нам нужно:

1. Найти уравнения сторон ( BC ), ( AC ), ( AB ).
2. Определить угловые коэффициенты этих сторон.
3. Поскольку высота перпендикулярна стороне, её угловой коэффициент будет обратным и противоположным (связь: ( k_1 \cdot k_2 = -1 )).
4. Записать уравнения высот, проходящих через заданные вершины.

Приступим:

Шаг 1. Найдём уравнения сторон треугольника

1.1 Уравнение стороны ( BC )

Точки ( B(-1; 4) ) и ( C(3; -2) ). Уравнение прямой через две точки: [ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}. ] Подставим координаты: [ \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - (-1)}{3 - (-1)}. ] [ \frac{y - 4}{-6} = \frac{x + 1}{4}. ] Крест-накрест: [ 4(y - 4) = -6(x + 1). ] [ 4y - 16 = -6x - 6. ] [ 6x + 4y - 10 = 0. ] Уравнение стороны ( BC ): [ 6x + 4y - 10 = 0. ]

1.2 Уравнение стороны ( AC )

Точки ( A(2; 1) ) и ( C(3; -2) ). Аналогично: [ \frac{y - 1}{-2 - 1} = \frac{x - 2}{3 - 2}. ] [ \frac{y - 1}{-3} = \frac{x - 2}{1}. ] Крест-накрест: [ 1(y - 1) = -3(x - 2). ] [ y - 1 = -3x + 6. ] [ 3x + y - 7 = 0. ] Уравнение стороны ( AC ): [ 3x + y - 7 = 0. ]

1.3 Уравнение стороны ( AB )

Точки ( A(2; 1) ) и ( B(-1; 4) ). Аналогично: [ \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - 2}{-1 - 2}. ] [ \frac{y - 1}{3} = \frac{x - 2}{-3}. ] Крест-накрест: [ -3(y - 1) = 3(x - 2). ] [ -3y + 3 = 3x - 6. ] [ 3x + 3y - 9 = 0. ] Уравнение стороны ( AB ): [ 3x + 3y - 9 = 0. ]

Шаг 2. Найдём уравнения высот

Для каждой высоты нужно:

• Определить угловой коэффициент стороны.
• Найти перпендикулярный угловой коэффициент для высоты.
• Записать уравнение прямой через соответствующую вершину.

2.1 Высота ( AH_1 ) (перпендикулярна стороне ( BC ))

Уравнение стороны ( BC ): ( 6x + 4y - 10 = 0 ). Преобразуем к виду ( y = kx + b ): [ 4y = -6x + 10 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}. ] Угловой коэффициент ( k{BC} = -\frac{3}{2} ). Для перпендикулярной прямой: [ k{AH_1} = \frac{2}{3}. ] Уравнение прямой через точку ( A(2; 1) ): [ y - y_1 = k(x - x_1). ] [ y - 1 = \frac{2}{3}(x - 2). ] [ y - 1 = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}. ] [ y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3} + 1. ] [ y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}. ] Уравнение высоты ( AH_1 ): [ y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}. ]

2.2 Высота ( BH_2 ) (перпендикулярна стороне ( AC ))

Уравнение стороны ( AC ): ( 3x + y - 7 = 0 ). Преобразуем к виду ( y = kx + b ): [ y = -3x + 7. ] Угловой коэффициент ( k{AC} = -3 ). Для перпендикулярной прямой: [ k{BH_2} = \frac{1}{3}. ] Уравнение прямой через точку ( B(-1; 4) ): [ y - y_1 = k(x - x_1). ] [ y - 4 = \frac{1}{3}(x - (-1)). ] [ y - 4 = \frac{1}{3}(x + 1). ] [ y - 4 = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}. ] [ y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} + 4. ] [ y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}. ] Уравнение высоты ( BH_2 ): [ y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3}. ]

2.3 Высота ( CH_3 ) (перпендикулярна стороне ( AB ))

Уравнение стороны ( AB ): ( 3x + 3y - 9 = 0 ). Преобразуем к виду ( y = kx + b ): [ 3y = -3x + 9 \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3. ] Угловой коэффициент ( k{AB} = -1 ). Для перпендикулярной прямой: [ k{CH_3} = 1. ] Уравнение прямой через точку ( C(3; -2) ): [ y - y_1 = k(x - x_1). ] [ y - (-2) = 1(x - 3). ] [ y + 2 = x - 3. ] [ y = x - 5. ] Уравнение высоты ( CH_3 ): [ y = x - 5. ]

Ответ:

Уравнения высот треугольника:

1. ( AH_1: \; y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} ),
2. ( BH_2: \; y = \frac{1}{3}x + \frac{13}{3} ),
3. ( CH_3: \; y = x - 5 ).