Даны компланарные векторы ~a, ~b и ~c, причем a = 3, b = 2, c = 5, ( c~a,~b) = 60◦ и ( ~cb,~c) = 60◦...

Для данной задачи начнем с того, что у нас есть три компланарных вектора (\vec{a}), (\vec{b}) и (\vec{c}) с заданными длинами: (|\vec{a}| = 3), (|\vec{b}| = 2) и (|\vec{c}| = 5). Также известно, что угол между векторами (\vec{c}) и (\vec{a}) составляет (60^\circ), а угол между (\vec{c}) и (\vec{b}) также составляет (60^\circ).

Параметры векторов

1. Вектор (\vec{a}): [ \vec{a} = (3, 0) ] Мы можем положить (\vec{a}) на горизонтальную ось.

2. Вектор (\vec{c}): Угол между (\vec{c}) и (\vec{a}) равен (60^\circ), значит: [ \vec{c} = |\vec{c}| \cdot (\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) ]

3. Вектор (\vec{b}): Угол между (\vec{c}) и (\vec{b}) равен (60^\circ). Для нахождения координат вектора (\vec{b}), мы можем воспользоваться тем же подходом. Угол между (\vec{b}) и горизонтальной осью будет равен (60^\circ) (поскольку угол между (\vec{b}) и (\vec{c}) также равен (60^\circ) и у нас (\vec{a}) на оси X): [ \vec{b} = |\vec{b}| \cdot (\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = (-1, \sqrt{3}) ]

Построение вектора (\vec{u})

Вектор (\vec{u} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}): [ \vec{u} = (3, 0) + (-1, \sqrt{3}) - \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) ] Сложим координаты: [ u_x = 3 - 1 - \frac{5}{2} = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} ] [ u_y = 0 + \sqrt{3} - \frac{5\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} ]

Таким образом, (\vec{u} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)).

Вычисление модуля вектора (\vec{u})

Модуль вектора (\vec{u}) вычисляется по формуле: [ |\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} ] Подставляем найденные значения: [ |\vec{u}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} ] [ = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7} ]

Ответ

Модуль вектора (\vec{u}) равен (\sqrt{7}).

Для начала найдем векторы (\mathbf{u} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}).

Значения модулей векторов: (|\mathbf{a}| = 3), (|\mathbf{b}| = 2), (|\mathbf{c}| = 5).

Сначала найдем скалярные произведения векторов:

1. ((\mathbf{c}, \mathbf{a}) = |\mathbf{c}| |\mathbf{a}| \cos(60^\circ) = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 7.5).

2. ((\mathbf{b}, \mathbf{c}) = |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos(60^\circ) = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5).

Теперь найдем модуль вектора (\mathbf{u}):

[ |\mathbf{u}| = |\mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}| = \sqrt{|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 2(\mathbf{a}, \mathbf{b}) - 2(\mathbf{a}, \mathbf{c}) - 2(\mathbf{b}, \mathbf{c})} ]

Определив ((\mathbf{a}, \mathbf{b})), можно воспользоваться методом подстановки. Обозначим ((\mathbf{a}, \mathbf{b}) = x).

Теперь подставим значения: [ |\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2 + 2x - 15 - 10} = \sqrt{9 + 4 + 25 + 2x - 25} = \sqrt{2x + 13}. ]

Чтобы найти (\mathbf{u}), нужно знать ((\mathbf{a}, \mathbf{b})). Однако, без дополнительной информации о взаимном расположении векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}), мы не можем вычислить (|\mathbf{u}|) точно.

Если предположить, что (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) перпендикулярны (что возможно для решения), то: [ |\mathbf{u}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2 - 15 - 10} = \sqrt{4} = 2. ]

Таким образом, модуль вектора (\mathbf{u}) равен (2) при условии, что ((\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 0).

Для решения задачи давайте последовательно разберем все шаги.

Дано:

1. Векторы ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) — компланарные (лежат в одной плоскости).
2. Их длины: ( |\vec{a}| = a = 3 ), ( |\vec{b}| = b = 2 ), ( |\vec{c}| = c = 5 ).
3. Угол между ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ): ( (\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ ).
4. Угол между ( \vec{b} ) и ( \vec{c} ): ( (\vec{b}, \vec{c}) = 60^\circ ).

Мы хотим найти вектор ( \vec{u} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} ) и вычислить его модуль ( |\vec{u}| ).

Шаг 1. Найдем общий подход для вычисления модуля вектора

Длина вектора ( |\vec{u}| ) вычисляется через скалярное произведение. Для произвольных векторов выполняется:

[ |\vec{u}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}). ]

Раскрываем скобки, используя свойства скалярного произведения:

[ |\vec{u}|^2 = (\vec{a} \cdot \vec{a}) + (\vec{b} \cdot \vec{b}) + (\vec{c} \cdot \vec{c})

• 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) - 2 (\vec{b} \cdot \vec{c}). ]

Теперь подставим известные данные.

Шаг 2. Вычислим скалярные произведения

1. Скалярные произведения векторов с самими собой: [ \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = a^2 = 3^2 = 9, ] [ \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = b^2 = 2^2 = 4, ] [ \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 = c^2 = 5^2 = 25. ]

2. Скалярное произведение ( \vec{a} \cdot \vec{b} ): Используем формулу: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta), ] где ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ). Тогда: [ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cdot \cos(60^\circ) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3. ]

3. Скалярное произведение ( \vec{b} \cdot \vec{c} ): По той же формуле: [ \vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos(60^\circ) = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 5. ]

4. Скалярное произведение ( \vec{a} \cdot \vec{c} ): Условие задачи не дает прямой информации об угле между ( \vec{a} ) и ( \vec{c} ). Предположим, что они ортогональны (перпендикулярны), тогда: [ \vec{a} \cdot \vec{c} = 0. ]

Шаг 3. Подставляем в формулу для ( |\vec{u}|^2 )

Теперь подставим всё в формулу:

[ |\vec{u}|^2 = (\vec{a} \cdot \vec{a}) + (\vec{b} \cdot \vec{b}) + (\vec{c} \cdot \vec{c}) + 2 (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2 (\vec{a} \cdot \vec{c}) - 2 (\vec{b} \cdot \vec{c}). ]

Подставляем значения:

[ |\vec{u}|^2 = 9 + 4 + 25 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 5. ]

Считаем:

[ |\vec{u}|^2 = 9 + 4 + 25 + 6 - 0 - 10 = 34. ]

Шаг 4. Находим модуль ( |\vec{u}| )

[ |\vec{u}| = \sqrt{|\vec{u}|^2} = \sqrt{34}. ]

Ответ:

Вектор ( \vec{u} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} ) имеет модуль:

[ |\vec{u}| = \sqrt{34}. ]