Даны две противоположные вершины квадрата А(3;0) и С(-4; 1). Найти две его другие вершины

Для нахождения двух других вершин квадрата, нужно использовать свойство квадрата, что все его стороны равны между собой и перпендикулярны.

Поскольку А и С - противоположные вершины квадрата, то можно найти диагональ квадрата, которая проходит через центр квадрата и соединяет эти вершины. Для этого найдем середину отрезка АС.

Середина отрезка АС имеет координаты: x = (3 - 4) / 2 = -0.5 y = (0 + 1) / 2 = 0.5 Таким образом, середина отрезка АС имеет координаты B(-0.5; 0.5).

Теперь зная координаты середины отрезка АС и одной из вершин квадрата (например, вершины А(3;0)), можно найти координаты двух оставшихся вершин квадрата, используя свойство равенства сторон и перпендикулярности сторон квадрата.

Для нахождения вершины D:

1. Найдем вектор AB: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-0.5 - 3, 0.5 - 0) = (-3.5, 0.5)
2. Повернем вектор AB на 90 градусов по часовой стрелке, чтобы найти вектор BC: BC = (-0.5, 0.5) -> (-0.5 cos(90) - 0.5 sin(90), 0.5 sin(90) + 0.5 cos(90)) = (-0.5, 0.5)
3. Координаты вершины D равны координатам вершины C сложенным с вектором BC: D(x_D, y_D) = C(x_C, y_C) + BC = (-4, 1) + (-0.5, 0.5) = (-4.5, 1.5)

Таким образом, координаты вершины D равны (-4.5, 1.5).

Для нахождения вершины B:

1. Найдем вектор AC: AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-4 - 3, 1 - 0) = (-7, 1)
2. Повернем вектор AC на 90 градусов против часовой стрелки, чтобы найти вектор BD: BD = (-7, 1) -> (-7 cos(90) + 1 sin(90), -7 sin(90) - 1 cos(90)) = (-1, -7)
3. Координаты вершины B равны координатам вершины A сложенным с вектором BD: B(x_B, y_B) = A(x_A, y_A) + BD = (3, 0) + (-1, -7) = (2, -7)

Таким образом, координаты вершины B равны (2, -7).

Чтобы найти две другие вершины квадрата, когда известны две противоположные вершины ( A(3, 0) ) и ( C(-4, 1) ), можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найти центр квадрата:

   Центр квадрата является серединой отрезка, соединяющего противоположные вершины. Координаты центра ( O ) можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат точек ( A ) и ( C ):

   [ O_x = \frac{3 + (-4)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5 ]

   [ O_y = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 ]

   Таким образом, центр квадрата имеет координаты ( O(-0.5, 0.5) ).

2. Определить длину стороны квадрата:

   Длина диагонали квадрата ( AC ) равна:

   [ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

   Поскольку диагональ квадрата равна ( s\sqrt{2} ), где ( s ) — длина стороны квадрата, мы можем найти ( s ):

   [ s = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 ]

3. Найти координаты оставшихся вершин:

   Чтобы найти оставшиеся вершины ( B ) и ( D ), мы можем использовать векторное перемещение от центра квадрата к его вершинам. Поскольку диагональ квадрата делит его на два равных по площади прямоугольных треугольника, перемещение от центра к вершинам будет перпендикулярно вектору ( AC ).

   Вектор ( AC ) имеет координаты ((-7, 1)), и поворот на 90 градусов (перпендикулярный вектор) может быть выбран по часовой стрелке или против. Например, выберем по часовой стрелке:

   Вектор, перпендикулярный ( AC ): ((1, 7)) и ((-1, -7)).

   Умножая на половину длины диагонали (поскольку центр делит диагональ пополам), получаем:

   [ B = O + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right) ] [ D = O + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{7}{\sqrt{2}}\right) ]

   Подставляя значения ( O ), получаем:

   [ B\left(-0.5 + \frac{5}{2}, 0.5 + \frac{35}{2}\right) = (2, 4) ] [ D\left(-0.5 - \frac{5}{2}, 0.5 - \frac{35}{2}\right) = (-3, -3) ]

Таким образом, координаты двух других вершин квадрата будут ( B(2, 4) ) и ( D(-3, -3) ).