Дано:прямоугольный треугольник ABC: угол С =90 градусов; CD перпендикулярно AB ; AC=6 AD=2 найти AB,...

Для решения задачи нам нужно найти длины сторон AB и BC прямоугольного треугольника ABC, где угол C является прямым, AC = 6, а AD = 2. Также известно, что CD перпендикулярно AB.

1. Обозначим неизвестные:

   • Пусть ( AB = c )
   • Пусть ( BC = a )
   • Пусть ( AC = b = 6 )
   • Пусть ( AD = 2 )
   • Пусть ( DB = x )

2. Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике действует теорема Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ]

3. Используем информацию о перпендикуляре CD: Поскольку CD перпендикулярно AB, треугольники ADC и CDB также являются прямоугольными.

4. Рассмотрим треугольники ADC и CDB:

   • В треугольнике ADC: [ AD^2 + CD^2 = AC^2 \implies 2^2 + CD^2 = 6^2 \implies 4 + CD^2 = 36 \implies CD^2 = 32 \implies CD = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]

   • В треугольнике CDB: [ DB = c - AD = c - 2 ] [ CD^2 + DB^2 = BC^2 \implies (4\sqrt{2})^2 + (c - 2)^2 = a^2 \implies 32 + (c - 2)^2 = a^2 ]

5. Вычислим ( a ) и ( c ):

   • Треугольник ABC: [ a^2 + b^2 = c^2 \implies a^2 + 6^2 = c^2 \implies a^2 + 36 = c^2 ]

   • Подставим это в уравнение из треугольника CDB: [ 32 + (c - 2)^2 = a^2 \implies 32 + c^2 - 4c + 4 = a^2 \implies a^2 = 36 + c^2 - 4c ]

   • Сравняем два уравнения: [ a^2 + 36 = c^2 \implies 36 + c^2 - 4c + 36 = c^2 \implies 72 - 4c = 0 \implies 4c = 72 \implies c = 18 ]

   • Найдем ( a ): [ a^2 + 36 = c^2 \implies a^2 + 36 = 18^2 \implies a^2 + 36 = 324 \implies a^2 = 288 \implies a = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} ]

Таким образом, длины сторон AB и BC равны: [ AB = 18, \quad BC = 12\sqrt{2} ]

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Из условия задачи уже известно, что AC = 6 и AD = 2, следовательно, BC = AC - AD = 6 - 2 = 4.

Теперь можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2, AB^2 = 6^2 + 4^2, AB^2 = 36 + 16, AB^2 = 52.

Из этого следует, что AB = √52 = 2√13.

Итак, мы получили, что AB = 2√13, BC = 4.