Дано: Угол С = 90 градусов Угол Б = Бета AC = B Найти: Неизвестные стороны и углы треугольника ABC (Треугольник...

В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов (т.е. треугольник является прямоугольным), и дан угол B, равный β, нам нужно найти неизвестные стороны и углы.

Дано:

• Угол C = 90°
• Угол B = β
• Сторона AC = B (обозначим её как a)

Нахождение угла A:

Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, мы можем найти угол A:

[ A = 180° - B - C = 180° - β - 90° = 90° - β ]

Нахождение сторон:

В прямоугольном треугольнике ABC можно использовать тригонометрические функции для нахождения сторон:

1. Сторона AB (гипотенуза):

   В соответствии с определениями тригонометрических функций, можно выразить длины сторон через угол B и известную сторону AC (которую мы обозначили как a):

   [ \sin(B) = \frac{a}{AB} \Rightarrow AB = \frac{a}{\sin(B)} ]

2. Сторона BC (прилежащая):

   Также можем найти сторону BC (которая является смежной стороной к углу B):

   [ \cos(B) = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = AB \cdot \cos(B) = \frac{a \cdot \cos(B)}{\sin(B)} = a \cdot \cot(B) ]

3. Сторона AC (противоположная):

   И, наконец, сторону AC (которая является противоположной к углу B):

   [ \tan(B) = \frac{a}{BC} \Rightarrow BC = \frac{a}{\tan(B)} ]

Подводя итог:

• Угол A = 90° - β
• Сторона AB (гипотенуза) = ( \frac{a}{\sin(B)} )
• Сторона BC (прилежащая) = ( a \cdot \cot(B) )
• Сторона AC (противоположная) = ( \frac{a}{\tan(B)} )

Таким образом, мы нашли все неизвестные углы и стороны треугольника ABC, основываясь на известных значениях.

Чтобы дать расширенный ответ, разберем задачу. У нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где угол ( \angle C = 90^\circ ). Угол ( \angle B ) обозначен как ( \beta ), а гипотенуза ( AC = B ). Нужно найти неизвестные стороны треугольника и оставшийся угол ( \angle A ).

Дано:

1. ( \angle C = 90^\circ ) (прямоугольный треугольник).
2. ( \angle B = \beta ). (Один из острых углов треугольника.)
3. Гипотенуза ( AC = B ) (гипотенуза обозначена как ( B )).

Найти:

1. Катеты ( AB ) и ( BC ).
2. Острый угол ( \angle A ).

Решение:

1. Углы треугольника:

Сумма углов любого треугольника равна ( 180^\circ ). В прямоугольном треугольнике один угол (угол ( C )) равен ( 90^\circ ), а два оставшихся угла являются острыми и их сумма должна быть ( 90^\circ ). То есть: [ \angle A + \angle B = 90^\circ. ] Поскольку ( \angle B = \beta ), то: [ \angle A = 90^\circ - \beta. ]

2. Связь сторон треугольника:

В прямоугольном треугольнике применяются основные тригонометрические соотношения. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ), где гипотенуза равна ( AC = B ):

• ( AB ) – один из катетов (противолежащий углу ( \beta )).
• ( BC ) – другой катет (прилежащий углу ( \beta )).

Тригонометрические функции для угла ( \beta ):

1. Синус угла ( \beta ) (отношение противолежащего катета к гипотенузе): [ \sin(\beta) = \frac{AB}{AC}. ] Так как ( AC = B ), то: [ AB = B \cdot \sin(\beta). ]

2. Косинус угла ( \beta ) (отношение прилежащего катета к гипотенузе): [ \cos(\beta) = \frac{BC}{AC}. ] Так как ( AC = B ), то: [ BC = B \cdot \cos(\beta). ]

Итоговые формулы для сторон:

1. ( AB = B \cdot \sin(\beta) ) (катет противолежащий углу ( \beta )).
2. ( BC = B \cdot \cos(\beta) ) (катет прилежащий углу ( \beta )).

3. Проверка через теорему Пифагора:

Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: [ AC^2 = AB^2 + BC^2. ] Подставим найденные выражения для ( AB ) и ( BC ): [ B^2 = (B \cdot \sin(\beta))^2 + (B \cdot \cos(\beta))^2. ] [ B^2 = B^2 \cdot \sin^2(\beta) + B^2 \cdot \cos^2(\beta). ] Вынесем ( B^2 ) за скобки: [ B^2 = B^2 \cdot (\sin^2(\beta) + \cos^2(\beta)). ] Так как основное тригонометрическое тождество гласит, что: [ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1, ] то: [ B^2 = B^2. ] Теорема Пифагора выполняется.

Ответ:

1. Угол ( \angle A = 90^\circ - \beta ).
2. Катет ( AB = B \cdot \sin(\beta) ).
3. Катет ( BC = B \cdot \cos(\beta) ).