Дано: треугольник АВС, АС равен 6 см, АВ равен 3 корней из 2, угол В равен 45 градусов найти угол С

Угол C равен 90 градусов, так как сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов.

Для нахождения угла C в треугольнике ABC мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Сначала найдем сторону BC с помощью теоремы Пифагора: AB^2 + AC^2 - 2 AB AC cos(B) = BC^2 (3√2)^2 + 6^2 - 2 3√2 6 cos(45°) = BC^2 18 + 36 - 36 cos(45°) = BC^2 54 - 36 (√2 / 2) = BC^2 54 - 18√2 = BC^2 BC = √(54 - 18√2) BC ≈ 3.11

Теперь можем найти угол C с помощью косинуса: cos(C) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 AB BC) cos(C) = ((3√2)^2 + (3.11)^2 - 6^2) / (2 3√2 3.11) cos(C) = (18 + 9.6721 - 36) / (18.66√2) cos(C) = (27.6721 - 36) / (18.66√2) cos(C) = -8.3279 / (18.66√2) cos(C) ≈ -0.446

Угол С ≈ arccos(-0.446) ≈ 116.6°

Итак, угол C в треугольнике ABC равен примерно 116.6 градусов.

Для решения задачи нам понадобятся несколько геометрических теорем и свойств треугольников. Давайте шаг за шагом разберем, как найти угол ( \angle C ).

Дано:

1. Треугольник ( ABC )
2. ( AC = 6 ) см
3. ( AB = 3\sqrt{2} ) см
4. ( \angle B = 45^\circ )

Найти:

Угол ( \angle C )

Решение:

1. Используем теорему косинусов:

   Теорема косинусов для треугольника ( ABC ) гласит: [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) ]

   Однако, чтобы использовать эту теорему, нужно знать ( \angle BAC ). Мы пока не знаем угол ( \angle BAC ), но мы знаем, что ( \angle B = 45^\circ ).

2. Используем свойства треугольника:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник. Если у нас есть угол ( \angle B = 45^\circ ), то можно предположить, что треугольник может быть прямоугольным, и ( \angle ACB = 90^\circ ). Однако, это предположение нужно проверить.

3. Используем теорему синусов:

   Теорема синусов гласит: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

   Применим теорему синусов к нашему треугольнику ( ABC ). Мы знаем ( AC ), ( AB ), и ( \angle B ): [ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} ]

   Подставим известные значения: [ \frac{BC}{\sin A} = \frac{6}{\sin 45^\circ} ]

   Так как ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ), имеем: [ \frac{BC}{\sin A} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \sqrt{2} ]

   Таким образом: [ BC = 6\sqrt{2} \sin A ]

4. Используем другие данные:

   Воспользуемся тем, что ( AB = 3\sqrt{2} ): [ \frac{BC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin B} ]

   Подставим известные значения: [ \frac{BC}{\sin C} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 6 ]

   Таким образом: [ BC = 6 \sin C ]

   Но мы уже знаем, что ( BC = 6\sqrt{2} \sin A ). Приравняем оба выражения для ( BC ): [ 6\sqrt{2} \sin A = 6 \sin C ]

   Сократим на 6: [ \sqrt{2} \sin A = \sin C ]

5. Определение углов:

   Зная, что ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ): [ \sin A = \frac{\sin C}{\sqrt{2}} ]

   Так как ( \sin A ) и ( \sin C ) должны быть в пределах от 0 до 1, можно сделать вывод, что ( \sin C = \sqrt{2} \sin A ), и это возможно только если ( \angle A = 45^\circ ).

   Теперь, зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов: [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ ]

   Подставим известные значения: [ 45^\circ + 45^\circ + \angle C = 180^\circ ]

   Решим уравнение: [ \angle C = 90^\circ ]

Ответ:

Угол ( \angle C ) равен ( 90^\circ ).