Дано: треугольник ABC- равнобедренный с основанием BC=16 см, P треугольник ABC=36 см, K, L; M- точки...

Рассмотрим равнобедренный треугольник ( ABC ), где ( AB = AC ), основание ( BC = 16 ) см, а периметр ( P = 36 ) см.

Шаг 1: Найдем длины сторон

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

[ P = AB + AC + BC ]

Поскольку ( AB = AC ) (равнобедренный треугольник), обозначим длину боковых сторон как ( a ):

[ P = 2a + BC = 2a + 16 ]

Подставим значение периметра:

[ 36 = 2a + 16 ]

Решим это уравнение:

[ 2a = 36 - 16 ] [ 2a = 20 ] [ a = 10 ]

Таким образом, длины сторон треугольника:

• ( AB = AC = 10 ) см
• ( BC = 16 ) см

Шаг 2: Найдем длины отрезков ( BK ) и ( AK )

Точки касания ( K, L, M ) являются точками касания вписанной окружности с соответствующими сторонами треугольника. Обозначим:

• ( BK = s - b ) (где ( s ) — полупериметр, а ( b = AC = 10 ) см)
• ( AK = s - a ) (где ( a = AB = 10 ) см)

Сначала найдем полупериметр ( s ):

[ s = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} ]

Теперь можем найти ( BK ) и ( AK ):

1. Найдем ( BK ):

[ BK = s - b = 18 - 10 = 8 \text{ см} ]

1. Найдем ( AK ):

[ AK = s - a = 18 - 10 = 8 \text{ см} ]

Итак, длины отрезков:

• ( BK = 8 ) см
• ( AK = 8 ) см

Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ( r ) в треугольнике можно вычислить по формуле:

[ r = \frac{S}{s} ]

где ( S ) — площадь треугольника, а ( s ) — полупериметр.

Для нахождения площади ( S ) воспользуемся формулой Герона:

[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ]

где ( c = BC = 16 ) см.

Подставим значения:

[ S = \sqrt{18(18-10)(18-10)(18-16)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 2} ] [ = \sqrt{18 \cdot 128} = \sqrt{2304} = 48 \text{ см}^2 ]

Теперь подставим площадь в формулу для радиуса:

[ r = \frac{S}{s} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3} \text{ см} \approx 2.67 \text{ см} ]

Ответ:

а) ( BK = 8 ) см, ( AK = 8 ) см.
б) Радиус вписанной окружности ( r \approx 2.67 ) см.

Для решения задачи рассмотрим свойства равнобедренного треугольника и свойства вписанной окружности. Разберем по пунктам.

Дано:

• Треугольник ( \triangle ABC ) равнобедренный с основанием ( BC = 16 \, \text{см} ).
• Периметр ( P_{\triangle ABC} = 36 \, \text{см} ).
• ( K, L, M ) — точки касания вписанной окружности со сторонами ( AB, BC, AC ), соответственно.

Требуется:

1. Найти длины отрезков ( BK ) и ( AK ).
2. Найти радиус ( r ) вписанной окружности.

Решение:

1. Длины сторон треугольника ( AB ), ( BC ), ( AC )

Поскольку треугольник равнобедренный с основанием ( BC ), боковые стороны ( AB ) и ( AC ) равны, обозначим их через ( a ). Тогда: [ P_{\triangle ABC} = AB + AC + BC = 2a + BC. ] Подставим значения: [ 36 = 2a + 16. ] Решим уравнение: [ 2a = 36 - 16 = 20, \quad a = 10 \, \text{см}. ] Итак, длины сторон треугольника: [ AB = AC = 10 \, \text{см}, \quad BC = 16 \, \text{см}. ]

2. Свойства отрезков касательных

Свойства треугольника с вписанной окружностью:

• Отрезки касательных, проведенных из одной вершины к точкам касания, равны. То есть: [ BK = BL, \quad AK = AM, \quad CL = CM. ]

Обозначим:

• ( BK = BL = x ),
• ( AK = AM = y ),
• ( CL = CM = z ).

Сумма этих отрезков равна полупериметру треугольника ( p ), где: [ p = \frac{P_{\triangle ABC}}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см}. ]

Сумма отрезков выражается так: [ x + y = AB = 10 \quad (\text{боковая сторона}), ] [ x + z = BC = 16 \quad (\text{основание}), ] [ y + z = AC = 10 \quad (\text{боковая сторона}). ]

3. Система уравнений для ( x, y, z )

Решим систему: [ x + y = 10, \quad x + z = 16, \quad y + z = 10. ]

Сложим все три уравнения: [ (x + y) + (x + z) + (y + z) = 10 + 16 + 10. ] [ 2x + 2y + 2z = 36. ] [ x + y + z = 18 \quad (\text{это и есть полупериметр } p). ]

Теперь выразим ( z ) через ( x ) и ( y ): [ z = 18 - (x + y). ]

Подставим ( x + y = 10 ) (из первого уравнения): [ z = 18 - 10 = 8. ]

Найдем ( x ) из второго уравнения: [ x + z = 16, \quad x + 8 = 16, \quad x = 8. ]

Теперь найдём ( y ) из первого уравнения: [ x + y = 10, \quad 8 + y = 10, \quad y = 2. ]

Итак: [ x = 8, \quad y = 2, \quad z = 8. ]

Ответ на пункт (а):

• ( BK = x = 8 \, \text{см} ),
• ( AK = y = 2 \, \text{см} ).

4. Радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности: [ r = \frac{S}{p}, ] где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр.

Найдем площадь ( S ) равнобедренного треугольника. Для этого используем формулу Герона: [ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}. ]

Подставим значения: [ p = 18, \quad AB = AC = 10, \quad BC = 16. ] [ S = \sqrt{18(18 - 10)(18 - 16)(18 - 10)}. ] [ S = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 8}. ] [ S = \sqrt{2304} = 48 \, \text{см}^2. ]

Теперь найдём радиус: [ r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3} \, \text{см}. ]

Ответ на пункт (б):

• Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{8}{3} \, \text{см} ).

Итоговые ответы:

1. ( BK = 8 \, \text{см}, \, AK = 2 \, \text{см} ).
2. ( r = \frac{8}{3} \, \text{см} ).