Дано: С(m;3), D(4;1), F(2;-1) и CD=DF Найдите m.

Для решения задачи необходимо использовать понятие расстояния между двумя точками на плоскости. Расстояние между двумя точками ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ) определяется по формуле:

[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

В данной задаче необходимо найти значение ( m ) такое, что ( CD = DF ), где ( C(m, 3) ), ( D(4, 1) ) и ( F(2, -1) ).

1. Вычислим расстояние ( CD ):

[ CD = \sqrt{(4 - m)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(4 - m)^2 + (-2)^2} = \sqrt{(4 - m)^2 + 4} ]

1. Вычислим расстояние ( DF ):

[ DF = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

1. Приравняем расстояния ( CD ) и ( DF ):

[ \sqrt{(4 - m)^2 + 4} = 2\sqrt{2} ]

Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ (4 - m)^2 + 4 = 8 ]

1. Решим уравнение:

[ (4 - m)^2 = 8 - 4 ]

[ (4 - m)^2 = 4 ]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

[ 4 - m = \pm 2 ]

Решим два уравнения:

• ( 4 - m = 2 )

  [ m = 4 - 2 = 2 ]

• ( 4 - m = -2 )

  [ m = 4 + 2 = 6 ]

Таким образом, значение ( m ) может быть 2 или 6.

Для нахождения значения m нам необходимо использовать формулу для расстояния между двумя точками на плоскости. Эта формула выглядит следующим образом:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где A(x1; y1) и B(x2; y2) - координаты точек A и B.

Используя данную формулу, мы можем найти расстояния CD и DF:

CD = √((4 - m)^2 + (1 - 3)^2), DF = √((2 - 4)^2 + (-1 - 1)^2).

Так как CD = DF, то:

√((4 - m)^2 + (1 - 3)^2) = √((2 - 4)^2 + (-1 - 1)^2).

Раскроем скобки и решим уравнение:

√((4 - m)^2 + 4) = √(4 + 4), (4 - m)^2 + 4 = 8, (4 - m)^2 = 4, 4 - m = 2, -m = -2, m = 2.

Итак, получаем, что m = 2.