Дано: MPT - треугольник, координаты точек: М(-4;3) Р(2;7) Т(8;-2) Как доказать, что треугольник МРТ...

Для доказательства того, что треугольник MRT прямоугольный, нужно проверить выполнение условия Пифагора.

1. Найдем длины сторон треугольника MRT:

   • Длина стороны MR: √[ (2-(-4))^2 + (7-3)^2 ] = √[6^2 + 4^2] = √[36 + 16] = √52
   • Длина стороны RT: √[ (8-2)^2 + (-2-7)^2 ] = √[6^2 + (-9)^2] = √[36 + 81] = √117
   • Длина стороны MT: √[ (8-(-4))^2 + (-2-3)^2 ] = √[12^2 + (-5)^2] = √[144 + 25] = √169 = 13

2. Проверяем выполнение теоремы Пифагора: Если квадрат длины гипотенузы (в данном случае стороны MT) равен сумме квадратов длин катетов (в данном случае сторон MR и RT), то треугольник прямоугольный.

MT^2 = MR^2 + RT^2 13^2 = √52^2 + √117^2 169 = 52 + 117 169 = 169

Таким образом, условие Пифагора выполняется, что означает, что треугольник MRT является прямоугольным.

Для доказательства прямоугольности треугольника МРТ необходимо проверить, что один из углов равен 90 градусов. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора: если квадрат длины самой длинной стороны равен сумме квадратов длин двух остальных сторон, то треугольник прямоугольный.

Чтобы доказать, что треугольник (MPT) является прямоугольным, необходимо показать, что один из его углов равен (90^\circ). Для этого можно использовать векторный метод, а именно скалярное произведение векторов, или же проверить длины сторон и использовать теорему Пифагора.

Шаг 1: Найдем координаты векторов

Пусть:

• (\overrightarrow{MP}) — вектор от точки (M) до точки (P),
• (\overrightarrow{MT}) — вектор от точки (M) до точки (T),
• (\overrightarrow{PT}) — вектор от точки (P) до точки (T).

Координаты векторов можно найти по формулам: [ \overrightarrow{MP} = (x{P} - x{M}, y{P} - y{M}) = (2 - (-4), 7 - 3) = (6, 4) ] [ \overrightarrow{MT} = (x{T} - x{M}, y{T} - y{M}) = (8 - (-4), -2 - 3) = (12, -5) ] [ \overrightarrow{PT} = (x{T} - x{P}, y{T} - y{P}) = (8 - 2, -2 - 7) = (6, -9) ]

Шаг 2: Проверка скалярного произведения векторов

Скалярное произведение двух векторов (\overrightarrow{a}) и (\overrightarrow{b}) равно нулю, если они перпендикулярны. Скалярное произведение векторов ((a_1, a_2)) и ((b_1, b_2)) вычисляется по формуле:

[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2 ]

Теперь найдём скалярные произведения для пар векторов: [ \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{MT} = (6, 4) \cdot (12, -5) = 6 \cdot 12 + 4 \cdot (-5) = 72 - 20 = 52 \quad (\text{не равно нулю}) ] [ \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{PT} = (6, 4) \cdot (6, -9) = 6 \cdot 6 + 4 \cdot (-9) = 36 - 36 = 0 \quad (\text{равно нулю}) ] [ \overrightarrow{MT} \cdot \overrightarrow{PT} = (12, -5) \cdot (6, -9) = 12 \cdot 6 + (-5) \cdot (-9) = 72 + 45 = 117 \quad (\text{не равно нулю}) ]

Шаг 3: Вывод

Из полученных результатов видно, что вектор (\overrightarrow{MP}) перпендикулярен вектору (\overrightarrow{PT}). Это означает, что угол (\angle MPT) равен (90^\circ).

Следовательно, треугольник (MPT) является прямоугольным, так как один из его углов прямой.