Дано: дуга AB и дуга AC= 5:3. Найти: угол BOC, угол ABC.

Для нахождения угла BOC и угла ABC в данной задаче нам необходимо использовать теорему о центральных углах.

Угол BOC равен удвоенному углу, образованному дугами AC и AB. Так как дуга AC в 5/3 раз больше дуги AB, угол BOC будет равен 2(угла, образованного дугой AB) = 2(угла, образованного дугой AC 3/5) = 2(угла, образованного дугой AC) * 6/5. Таким образом, угол BOC равен 6/5 угла, образованного дугой AC.

Угол ABC равен половине угла, образованного дугами AB и AC. Так как дуга AC в 5/3 раз больше дуги AB, угол ABC будет равен 1/2(угла, образованного дугой AB + угла, образованного дугой AC) = 1/2(угла, образованного дугой AC 3/5 + угла, образованного дугой AC) = 1/2(угла, образованного дугой AC) * 8/5. Таким образом, угол ABC равен 4/5 угла, образованного дугой AC.

Для решения задачи нам необходимо использовать свойства окружности и центральные и вписанные углы.

1. Центральные углы:
   • Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны проходят через две точки на окружности.
   • Угол BOC является центральным углом, который стягивает дугу BC.
   • Если дуги AB и AC относятся как 5:3, это значит, что длины дуг AB и AC пропорциональны этим числам.
   • Пусть длина дуги AB = 5x, а длина дуги AC = 3x. Тогда длина всей окружности 8x, и длина дуги BC = 8x - 5x - 3x = 0. То есть, в нашем случае дуга BC не имеет длины, а это значит, что точки B и C совпадают.

Таким образом, угол BOC не может быть определен в данной формулировке задачи, так как он не существует в традиционном смысле (точки B и C совпадают).

1. Вписанные углы:
   • Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны проходят через две точки на окружности.
   • Угол ABC является вписанным углом, который опирается на дугу AC.
   • Из свойства вписанного угла следует, что вписанный угол равен половине центрального угла, стягивающего ту же дугу.
   • Поскольку угол BOC не может быть определен, то также не можем точно определить угол ABC в традиционной геометрии, так как точки B и C совпадают.

Таким образом, в данных условиях задача некорректно сформулирована, поскольку дуга BC не существует. Возможно, задача требует пересмотра условий или разъяснения. Если в задаче подразумевается другая конфигурация или дополнительные условия, то потребуется уточнение.