Дано: AB перпендикулярно плоскости альфа. Наклонная AC=8. Её проекция=7. наклонная AD=4. Найти проекцию...

Для нахождения проекции наклонной AD на плоскость альфа нужно воспользоваться формулой проекции вектора на плоскость:

Проекция AD на плоскость α = AD - проекция AD на вектор, нормальный к плоскости α.

Для начала найдем вектор, нормальный к плоскости α. Поскольку AB перпендикулярно плоскости α, то AB будет вектором, нормальным к данной плоскости.

Теперь найдем проекцию вектора AD на вектор AB: AD_AB = (AD AB) / |AB|^2 AB,

где "*" обозначает скалярное произведение векторов, а |AB| - длина вектора AB.

По условию, AC=8, её проекция на плоскость α=7, и AD=4. Тогда найдем вектор AB: AB = AC - проекция AC на плоскость α = AC - 7 = 8 - 7 = 1.

Таким образом, вектор AB = $1,0,0$.

Теперь найдем проекцию вектора AD на вектор AB: AD_AB = (AD AB) / |AB|^2 AB = (4 1) / 1 $1,0,0$ = 4 * $1,0,0$ = $4,0,0$.

Теперь найдем проекцию AD на плоскость α: проекция AD на плоскость α = AD - AD_AB = $4,0,0$ - $4,0,0$ = $0,0,0$.

Таким образом, проекция наклонной AD на плоскость α равна $0,0,0$.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и проекций в пространстве. Давайте разберёмся шаг за шагом.

1. Дано:

   • Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
   • Наклонная $AC=8$.
   • Проекция наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ равна $7$.
   • Наклонная $AD=4$.

2. Найти:

   • Проекцию $AD$ на плоскость $\alpha$.

Шаг 1: Определение высоты $h$ из точки $A$ на плоскость $\alpha$

Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, значит, $AB$ является высотой из точки $A$ на плоскость $\alpha$. В таком случае $AC$ и $AD$ — это наклонные, исходящие из $A$ и образующие с плоскостью $\alpha$ прямоугольные треугольники.

Шаг 2: Определение высоты $h$ из точки $A$

Используем проекцию $AC$: $A{C}^2=h^2+(проекцияAC{)}^2$ $8^2=h^2+7^2$ $64=h^2+49$ $h^2=64-49$ $h^2=15$ $h=\sqrt{15}$

Шаг 3: Найти проекцию $AD$

Проекция наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$ обозначим через $PD$. Используем аналогичное соотношение для треугольника $ABD$:

$A{D}^2=h^2+P{D}^2$ $4^2=(\sqrt{15}{)}^2+P{D}^2$ $16=15+P{D}^2$ $P{D}^2=16-15$ $P{D}^2=1$ $PD=1$

Таким образом, проекция наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$ равна $1$.

Ответ:

Проекция наклонной $AD$ на плоскость $\alpha$ равна $1$.