Дана арифметическая прогрессия an=18-3n а)найдите сумму первых 20членов б)при каком количестве членов...

a) Для нахождения суммы первых 20 членов арифметической прогрессии, используем формулу суммы n членов арифметической прогрессии: Sn = n/2 * (a1 + an), где a1 - первый член прогрессии, an - n-й член прогрессии.

Для данной прогрессии a1 = 18 - 31 = 15, an = 18 - 320 = -42. Теперь подставим значения в формулу: S20 = 20/2 (15 + (-42)) = 10 (-27) = -270.

Ответ: сумма первых 20 членов данной арифметической прогрессии равна -270.

б) Чтобы найти количество членов прогрессии, сумма которых будет наибольшей, нужно рассмотреть ситуацию, когда сумма членов прогрессии начинает уменьшаться. Для этого выразим член прогрессии через n: an = 18 - 3n. Сумма первых n членов Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + 18 - 3n) = n/2 (15 + 18 - 3n) = n/2 (33 - 3n) = 16.5n - 1.5n^2.

Теперь найдем экстремум этой функции, взяв производную и приравняв к нулю: d(Sn)/dn = 16.5 - 3n = 0 => n = 5.5. Поскольку n - целое число, то наибольшая сумма членов прогрессии будет при n = 5.

Ответ: наибольшая сумма членов данной арифметической прогрессии будет при количестве членов, начиная с первого, равном 5.

а) Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 180. б) Сумма членов прогрессии будет наибольшей, когда количество членов будет равно 1.

Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами одинакова и называется разностью прогрессии.

Для данной арифметической прогрессии ( a_n = 18 - 3n ):

1. Определим разность прогрессии: Формула ( a_n = a_1 + (n-1)d ) позволяет выразить любой член прогрессии через первый член ( a_1 ) и разность ( d ).

   В данном случае:

   • Первый член ( a_1 = 18 - 3 \cdot 1 = 15 )
   • Второй член ( a_2 = 18 - 3 \cdot 2 = 12 )
   • Разность ( d = a_2 - a_1 = 12 - 15 = -3 )

2. Найдем сумму первых 20 членов прогрессии: Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии рассчитывается по формуле: [ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) ]

   Подставим значения для ( n = 20 ), ( a1 = 15 ), и ( d = -3 ): [ S{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 15 + (20-1) \cdot (-3) \right) ] [ S{20} = 10 \left( 30 + 19 \cdot (-3) \right) ] [ S{20} = 10 (30 - 57) ] [ S{20} = 10 \cdot (-27) ] [ S{20} = -270 ]

   Значит, сумма первых 20 членов прогрессии равна (-270).

3. Найдем, при каком количестве членов сумма будет наибольшей: Сумма членов арифметической прогрессии будет наибольшей, когда мы учитываем все члены до того момента, пока значения членов не станут отрицательными и не продолжат уменьшаться.

   Для этого найдем момент, когда очередной член прогрессии станет отрицательным: [ a_n = 18 - 3n ] При каком значении ( n ) ( a_n ) станет отрицательным: [ 18 - 3n < 0 ] [ 18 < 3n ] [ n > 6 ]

   Таким образом, ( a_7 ) уже будет отрицательным: [ a_7 = 18 - 3 \cdot 7 = 18 - 21 = -3 ]

   Однако, сумма будет максимальной, если мы ограничимся первым положительным членом. Следовательно, для максимальной суммы берём первые 6 членов: [ S_6 = \frac{6}{2} \left( 2 \cdot 15 + (6-1) \cdot (-3) \right) ] [ S_6 = 3 \left( 30 + 5 \cdot (-3) \right) ] [ S_6 = 3 \left( 30 - 15 \right) ] [ S_6 = 3 \cdot 15 ] [ S_6 = 45 ]

   Таким образом, максимальная сумма достигается при ( n = 6 ) и равна 45.