Дан треугольник ABC, известно, что ∡B=145°. В треугольнике проведены высоты AM и CN. Определи угол между...

Для определения угла между высотами AM и CN в треугольнике ABC, нам необходимо воспользоваться свойством прямоугольных треугольников.

Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке (в данном случае точке H) и являются перпендикулярными к основаниям. Таким образом, мы можем составить два прямоугольных треугольника: AMH и CNH.

Учитывая, что угол B равен 145°, то угол MBH (полученный как дополнительный к углу B) будет равен 35°. Также, учитывая, что угол C равен 90° (так как высота CN перпендикулярна к основанию), то угол HCN будет равен 90°.

Теперь нам необходимо найти угол BCH, который является искомым углом между высотами AM и CN. Для этого воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна 180°.

У нас уже есть угол B равный 145°, угол MBH равный 35° и угол HCN равный 90°. Таким образом, угол BCH равен 180° - 145° - 35° - 90° = 10°.

Итак, угол между высотами AM и CN в треугольнике ABC равен 10°.

Для решения задачи нам потребуется использовать свойства высот треугольника и их взаимосвязи с углами треугольника.

Итак, у нас есть треугольник ( ABC ) с углом ( \angle B = 145^\circ ). В треугольнике проведены высоты ( AM ) и ( CN ).

1. Основные данные и обозначения:

   • ( \angle B = 145^\circ )
   • Высоты ( AM ) и ( CN ) пересекаются в точке ( H ) (ортогональный центр треугольника).

2. Свойства высот в треугольнике: Высоты треугольника пересекаются под углами, связанными с углами самого треугольника. В частности, высоты ( AM ) и ( CN ) будут пересекаться под углом, который зависит от величины углов ( \angle A ) и ( \angle C ).

3. Определение углов ( \angle A ) и ( \angle C ): Известно, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ): [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ ] Подставим известное значение ( \angle B ): [ \angle A + 145^\circ + \angle C = 180^\circ ] Отсюда: [ \angle A + \angle C = 35^\circ ]

4. Взаимное расположение высот: Угол между высотами треугольника равен ( 180^\circ ) минус угол при вершине, и это касается сумм углов у основания высот: [ \angle AMH + \angle CNH = 180^\circ - \angle AHC ] Но поскольку высоты взаимно перпендикулярны к сторонам, их угол в ортоцентре равен углу: [ \angle AMH + \angle CNH = 180^\circ - \angle B ]

5. Рассчитаем угол между высотами: Поскольку ( \angle B = 145^\circ ), то угол между высотами равен: [ 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ ]

Таким образом, угол между высотами ( AM ) и ( CN ) равен ( 35^\circ ).