Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими...

В данном случае мы имеем тетраэдр DABC, у которого три ребра DA, DB и DC, исходящие из общей вершины D, перпендикулярны друг другу. Это значит, что грани ∆DAB, ∆DBC и ∆DCA являются прямоугольными треугольниками. Нам нужно найти общую площадь этих боковых граней.

1. Грань ∆DAB:

   • Так как DA и DB перпендикулярны, ∆DAB является прямоугольным треугольником с катетами DA и DB.
   • Площадь треугольника ∆DAB: [ S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32. ]

2. Грань ∆DBC:

   • Треугольник ∆DBC также является прямоугольным, с катетами DB и DC.
   • Площадь треугольника ∆DBC: [ S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32. ]

3. Грань ∆DCA:

   • Треугольник ∆DCA также является прямоугольным, с катетами DC и DA.
   • Площадь треугольника ∆DCA: [ S_{DCA} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot DA = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32. ]

Теперь мы можем найти общую площадь боковых граней, сложив площади всех трёх треугольников:

[ S{\text{общая}} = S{DAB} + S{DBC} + S{DCA} = 32 + 32 + 32 = 96. ]

Таким образом, общая площадь боковых граней тетраэдра DABC равна 96.

Для начала найдем площадь одной боковой грани тетраэдра.

Пусть точка E - середина отрезка AB. Так как треугольники ADE и BDE являются равнобедренными (так как AE = BE, AD = BD и DE общая), то углы AED и BED равны. Таким образом, угол AEB равен 90 градусам, следовательно, треугольник AEB является прямоугольным.

Таким образом, площадь боковой грани тетраэдра равна площади треугольника AEB, где AE = BE = 4 (половина отрезка AB), а AB = 8, так как DB = 8.

Площадь треугольника AEB можно найти, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S = 1/2 AB AE = 1/2 8 4 = 16.

Так как у тетраэдра 3 такие боковые грани, общая площадь боковых граней равна 3 * 16 = 48.

Итак, общая площадь боковых граней тетраэдра DABC равна 48.