Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите двугранный угол B1ADB, если AC=6 корней из 2...

Для решения задачи необходимо использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и знание о двугранных углах.

1. Понять геометрию параллелепипеда:

   • Поскольку ABCD — квадрат, это значит, что все его стороны равны. Пусть сторона квадрата будет ( a ).

2. Использование диагонали квадрата:

   • Диагональ квадрата ABCD равна ( AC = a\sqrt{2} ).
   • По условию ( AC = 6\sqrt{2} ), значит, ( a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} ).
   • Отсюда следует, что ( a = 6 ).

3. Рассмотрим высоту параллелепипеда:

   • Высота ( AB_1 = 4\sqrt{3} ).

4. Идентификация плоскостей:

   • Плоскости, образующие двугранный угол ( B_1ADB ), — это плоскость ( ABB_1A_1 ) и плоскость ( ABD ).

5. Найдем вектор нормали для каждой плоскости:

   • Вектор нормали к плоскости ( ABB_1A_1 ) можно определить как вектор, параллельный ребру ( AB_1 ) (так как эта плоскость вертикальна относительно основания), и равный ( \vec{n_1} = (0, 0, 4\sqrt{3}) ).
   • Вектор нормали к плоскости ( ABD ) можно найти как вектор, перпендикулярный к вектору ( \vec{AB} = (6, 0, 0) ) и ( \vec{AD} = (0, 6, 0) ), что дает ( \vec{n_2} = (0, 0, 36) ).

6. Нахождение двугранного угла:

   • Двугранный угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями.
   • Скалярное произведение нормалей: ((0, 0, 4\sqrt{3}) \cdot (0, 0, 36) = 144\sqrt{3}).
   • Длины нормалей: (|\vec{n_1}| = 4\sqrt{3}), (|\vec{n_2}| = 36).
   • Косинус угла между нормалями: (\cos \theta = \frac{144\sqrt{3}}{(4\sqrt{3}) \times 36} = 1).

7. Заключение:

   • Поскольку (\cos \theta = 1), это означает, что угол (\theta = 0) радиан, или (0^\circ).
   • Таким образом, двугранный угол ( B_1ADB ) равен ( 0^\circ ).

Это решение демонстрирует, что плоскости ( ABB_1A_1 ) и ( ABD ) совпадают в пространстве, поэтому двугранный угол между ними равен нулю.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться геометрическими свойствами прямоугольного параллелепипеда и двугранных углов.

Из условия известно, что AC=6√2 м и AB1=4√3 м. Также известно, что ABCD - квадрат, следовательно, BD=AB=4√3 м.

Для нахождения двугранного угла B1ADB мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника ADB:

cos(B1ADB) = (AD^2 + AB^2 - BD^2) / (2 AD AB)

Так как ABCD - квадрат, то AD=BD=4√3 м. Подставим известные значения:

cos(B1ADB) = (4√3)^2 + (4√3)^2 - (4√3)^2 / (2 4√3 4√3) cos(B1ADB) = 48 + 48 - 48 / 96 cos(B1ADB) = 48 / 96 cos(B1ADB) = 0.5

Таким образом, cos(B1ADB) = 0.5. Чтобы найти значение угла B1ADB, можно воспользоваться обратной функцией косинуса:

B1ADB = arccos(0.5) B1ADB = 60°

Итак, двугранный угол B1ADB равен 60 градусам.