Дан параллелограмм ABCD.Суммой каких векторов является вектор 1)CA 2)DA

В параллелограмме ABCD стороны противоположны и равны, а также диагонали пересекаются в середине. Рассмотрим векторы CA и DA, чтобы выяснить, из каких векторов они могут быть представлены.

1) Вектор CA: Вектор ( \overrightarrow{CA} ) можно представить как разность векторов ( \overrightarrow{C} ) и ( \overrightarrow{A} ). В терминах других вершин параллелограмма, мы можем выразить ( \overrightarrow{C} ) через ( \overrightarrow{A} ) и ( \overrightarrow{B} ):

[ \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ]

Тогда вектор ( \overrightarrow{CA} ) можно записать как:

[ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) ]

Таким образом, вектор ( \overrightarrow{CA} ) является суммой векторов ( -\overrightarrow{AB} ) и ( -\overrightarrow{AD} ), что соответствует:

[ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD}) ]

2) Вектор DA: Аналогично, вектор ( \overrightarrow{DA} ) можно выразить через другие векторы параллелограмма. Вектор ( \overrightarrow{DA} ) представляет собой разность между точками D и A:

[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} ]

Из свойств параллелограмма мы знаем, что ( \overrightarrow{D} ) можно выразить как:

[ \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ]

Таким образом, вектор ( \overrightarrow{DA} ) можно записать как:

[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) ]

Таким образом, вектор ( \overrightarrow{DA} ) также можно представить как сумму векторов:

[ \overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AD}) ]

В итоге, мы можем заключить, что:

1) Вектор ( \overrightarrow{CA} ) является суммой векторов ( -\overrightarrow{AB} ) и ( -\overrightarrow{AD} ). 2) Вектор ( \overrightarrow{DA} ) также является суммой векторов ( -\overrightarrow{AB} ) и ( -\overrightarrow{AD} ).

Эти отношения векторов подчеркивают свойства параллелограмма и его симметрии.

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) и разберем векторы ( \overrightarrow{CA} ) и ( \overrightarrow{DA} ), запишем их как сумму других векторов. Для этого будем использовать свойства векторов и свойства параллелограммов.

1. Вектор ( \overrightarrow{CA} )

Вектор ( \overrightarrow{CA} ) направлен от точки ( C ) к точке ( A ). Чтобы выразить его через сумму других векторов, можно воспользоваться правилом разложения вектора через промежуточную точку. Например, возьмем точку ( B ). Тогда:

[ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}. ]

Здесь:

• ( \overrightarrow{CB} ) — вектор от точки ( C ) к точке ( B ),
• ( \overrightarrow{BA} ) — вектор от точки ( B ) к точке ( A ).

Таким образом: [ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}. ]

2. Вектор ( \overrightarrow{DA} )

Вектор ( \overrightarrow{DA} ) направлен от точки ( D ) к точке ( A ). Чтобы выразить его через сумму других векторов, также воспользуемся промежуточной точкой, например, ( B ). Тогда:

[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA}. ]

Здесь:

• ( \overrightarrow{DB} ) — вектор от точки ( D ) к точке ( B ),
• ( \overrightarrow{BA} ) — вектор от точки ( B ) к точке ( A ).

Таким образом: [ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA}. ]

Дополнительно: Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны: [ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}. ]

2. Диагонали параллелограмма ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ), которая делит их пополам: [ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}. ]

Эти свойства могут быть полезны при решении задач, связанных с разложением векторов.

Итог

1. ( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} ).
2. ( \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BA} ).

Разложение векторов через сумму других векторов позволяет легко решать задачи на нахождение координат, длины и направлений векторов в фигурах.