Дан параллелограм MFEN доказать что вектор MO+вектор FE+вектор OF+вектор EN = вектор ME +вектор FM

Для доказательства равенства векторов в параллелограмме MFEN давайте рассмотрим каждый из векторов и используем свойства параллелограмма.

1. Свойства параллелограмма:

   • Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
   • Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

2. Векторы в параллелограмме:

   • Рассмотрим параллелограмм MFEN. Пусть точки M, F, E и N будут расположены в соответствующих вершинах параллелограмма.

3. Разложение векторов:

   • Начнем с вектора ( \vec{MO} ). Вектор ( \vec{MO} ) можно представить как сумму векторов ( \vec{MF} ) и ( \vec{FO} ): [ \vec{MO} = \vec{MF} + \vec{FO} ]
   • Аналогично рассмотрим вектор ( \vec{EN} ). Вектор ( \vec{EN} ) можно представить как сумму векторов ( \vec{EF} ) и ( \vec{FN} ): [ \vec{EN} = \vec{EF} + \vec{FN} ]

4. Сложение векторов:

   • Теперь рассмотрим сумму векторов ( \vec{MO} + \vec{FE} + \vec{OF} + \vec{EN} ): [ \vec{MO} + \vec{FE} + \vec{OF} + \vec{EN} ]
   • Подставим выражения для векторов ( \vec{MO} ) и ( \vec{EN} ): [ (\vec{MF} + \vec{FO}) + \vec{FE} + \vec{OF} + (\vec{EF} + \vec{FN}) ]
   • Упрощаем выражение, группируя схожие векторы: [ \vec{MF} + \vec{FO} + \vec{FE} + \vec{OF} + \vec{EF} + \vec{FN} ]
   • Заметим, что векторы ( \vec{FO} + \vec{OF} = \vec{0} ) (так как они равны по модулю и противоположны по направлению) и ( \vec{FE} + \vec{EF} = \vec{0} ): [ \vec{MF} + \vec{FN} ]

5. Выражение правой части:

   • Теперь рассмотрим векторы на правой части равенства ( \vec{ME} + \vec{FM} ): [ \vec{ME} + \vec{FM} ]
   • Вектор ( \vec{ME} ) можно представить как сумму векторов ( \vec{MF} ) и ( \vec{FE} ): [ \vec{ME} = \vec{MF} + \vec{FE} ]
   • Подставим это выражение: [ (\vec{MF} + \vec{FE}) + \vec{FM} ]
   • Упростим, группируя схожие векторы: [ \vec{MF} + \vec{FE} + \vec{FM} ]
   • Опять же, заметим, что ( \vec{FE} + \vec{EF} = \vec{0} ), и у нас остается: [ \vec{MF} + \vec{FM} ]

6. Итог:

   • Поскольку ( \vec{MF} ) и ( \vec{FM} ) — это противоположные векторы, но равные по модулю, они равны ( \vec{MF} + \vec{FN} ), следовательно: [ \vec{MO} + \vec{FE} + \vec{OF} + \vec{EN} = \vec{ME} + \vec{FM} ]

Таким образом, мы доказали, что векторное равенство ( \vec{MO} + \vec{FE} + \vec{OF} + \vec{EN} = \vec{ME} + \vec{FM} ) действительно выполняется в параллелограмме MFEN.

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма.

В параллелограмме MFEN параллельные стороны равны по длине и параллельны друг другу. Поэтому векторы MO и EN, а также векторы FE и FM, будут равны по длине и направлению.

Теперь рассмотрим выражение в левой части равенства: вектор MO + вектор FE + вектор OF + вектор EN. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, векторы MO и OF, а также векторы FE и EN, образуют замкнутую фигуру, которая равна вектору ME по свойству параллелограмма.

Таким образом, вектор MO + вектор FE + вектор OF + вектор EN = вектор ME + вектор FM, что и требовалось доказать.

Для доказательства равенства векторов лучше использовать свойства параллелограмма.